Robustheit, eine Junta zu spalten

Wir sagen, dass eine Boolesche Funktion eine Junta ist, wenn höchstens Einflussvariablen hat.$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$k$$f$$k$

Sei eine Junta. Bezeichne die Variablen von mit . Fix Es ist klar, dass so dass mindestens der Einflussvariablen von .$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$2k$$f$$x_1, x_2, \ldots, x_n$

$$S_1 = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\frac{n}{2}} \right\},\quad S_2 = \left\{ x_{\frac{n}{2} + 1}, x_{\frac{n}{2} + 2}, \ldots, x_n \right\}.$$ S k $S \in \{S_1, S_2\}$$S$$k$$f$

Nun lassen , und geht davon aus, dass ist -Far von jedem -junta (dh hat man einen Bruchteil zu ändern mindestens der Werte von , um es zu einer Junta zu machen ). Können wir eine "robuste" Version der obigen Aussage machen? Das heißt, dass es eine universelle Konstante und ein Satz , so dass ist -Far von jeder Funktion , die höchstens enthält Einflussgrößen in ?f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } ϵ 2 k ϵ f 2 k c S ∈ { S 1 , S 2 } f $\epsilon > 0$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$\epsilon$$2k$$\epsilon$$f$$2k$$c$$S \in \{S_1, S_2\}$$f$ k$\frac{\epsilon}{c}$$k$$S$

Anmerkung: In der ursprünglichen Formulierung der Frage wurde als . Das Beispiel von Neal zeigt, dass ein solcher Wert von nicht ausreicht. Da wir uns jedoch beim Testen von Eigenschaften normalerweise nicht zu sehr mit Konstanten befassen, habe ich den Zustand etwas gelockert.2 $c$$2$$c$

Die Antwort ist ja". Der Beweis liegt im Widerspruch.

Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir die ersten Variablen mit x und die zweiten n / 2 Variablen mit y . Angenommen, f ( x , y ) ist δ - nahe an einer Funktion f 1 ( x , y ), die nur von k Koordinaten von x abhängt . Bezeichne seine einflussreichen Koordinaten mit T 1 . Gleichermaßen sei angenommen , dass f ( x , y ) ist ,$n/2$$x$$n/2$$y$$f(x,y)$$\delta$$f_1(x,y)$$k$$x$$T_1$$f(x,y)$ nahe an einer Funktion f 2 ( x , y ), die nur von k Koordinaten von y abhängt. Bezeichne seine einflussreichen Koordinaten mit T 2 . Wir müssen beweisendass f ist 4 δ -Nähe eines 2 k -junta ~ f ( x , y ) .$\delta$$f_2(x,y)$$k$$y$$T_2$$f$$4\delta$$2k$$\tilde f(x,y)$

Nehmen wir an, dass wenn x 1 und x 2 in allen Koordinaten in T 1 übereinstimmen und y 1 und y 2 in allen Koordinaten in T 2 übereinstimmen . Aus jeder Äquivalenzklasse wählen wir nach dem Zufallsprinzip einheitlich einen Vertreter aus. Sei ( ˉ x , ˉ y ) der Repräsentant für die Klasse von ( x $(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)$$x_1$$x_2$$T_1$$y_1$$y_2$$T_2$$(\bar x, \bar y)$ . Definieren Sie ˜ f wie folgt: ˜ f ( x , y ) = f ( ˉ x , ˉ y ) $(x,y)$$\tilde f$

$$\tilde f(x,y) = f(\bar x, \bar y).$$

Es ist offensichtlich , dass ist ein 2 k -junta (es hängt nur von Variablen in T 1 ∪ T 2 ) . Wir werden beweisen, dass es sich in der Erwartung im Abstand 4 δ von f befindet .$\tilde f$$2k$$T_1 \cup T_2)$$4\delta$$f$

Wir wollen beweisen , dass wobei x und y gleichmäßig zufällig gewählt werden. Betrachten Sie einen zufälligen Vektor

$$\Pr_{\tilde f}(\Pr_{x,y}(\tilde f(x,y) \neq f(x,y))) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta,$$ $x$$y$ wird ausx erhalten,indem alle Bits inT1 gehaltenund alle Bits, die nicht inT1 sind,zufällig umgedreht werden, und ein Vektor ˜ y wird ähnlich definiert. Man beachtedass Pr( ~ f (x,y)≠f(x,y))=Pr(f( ˉ x , ˉ y )≠f(x,y))=$\tilde x$$x$$T_1$$T_1$$\tilde y$ $$\Pr(\tilde f(x,y) \neq f(x,y)) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y))= \Pr(f(\tilde x, \tilde y) \neq f(x,y)).$$

Wir haben,

$$\Pr(f(x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \Pr(f(x,y) \neq f_1(x, y)) + \Pr(f_1(x,y) \neq f_1(\tilde x, y)) + \Pr(f_1(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \delta + 0 + \delta = 2\delta.$$

In ähnlicher Weise . Wir haben Pr ( f ( ˉ x , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) ≤ 4 δ . QED$\Pr(f(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, \tilde y)) \leq 2\delta$

$$\Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta.$$

Es ist einfach, diesen Beweis zu „derandomisieren“. Für jedes sei ˜ f ( x , y ) = 1, wenn f ( x , y ) = 1 für die meisten ( x ′ , y ′ ) in der Äquivalenzklasse von ( x , y ) und ˜ f ( x , y ) = 0 , sonst.$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 1$$f(x,y) = 1$$(x',y')$$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 0$

Das kleinste , für das die Schranke gilt, ist c = $c$.$c = \frac{1}{\sqrt 2 - 1} \approx 2.41$

Lemmas 1 und 2 zeigen, dass die Schranke für dieses . Lemma 3 zeigt, dass diese Grenze eng ist.$c$

(Im Vergleich dazu ergibt Juris elegantes probabilistisches Argument )$c=4$

Sei . Lemma 1 gibt die Obergrenze fürk=0 an.$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$$k=0$

Lemma 1: Wenn heißt ε g -Near eine Funktion g , die keine Einflußgrößen in hat S 2 , und f ist ε h -Near eine Funktion h , die NO - Variablen bei der Beeinflussung S 1 , dann f IS ε -Near eine konstante Funktion mit ϵ ≤ ( ϵ g + ϵ h ) /$f$$\epsilon_g$$g$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$S_1$$f$$\epsilon$ .$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

Beweis. Sei der Abstand von f zu einer konstanten Funktion. Nehmen wir für den Widerspruch an, dass ϵ die behauptete Ungleichung nicht erfüllt. Sei y = ( x 1 , x 2 , ... , x n / 2 ) und z = ( x n / 2 + 1 , ... , x n ) und schreibe f , g und h als f ( $\epsilon$$f$$\epsilon$$y=(x_1,x_2,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2}+1,\ldots,x_n)$$f$$g$$h$ , g ( y , z ) und h ( y , z ) , so dass g ( y , z ) unabhängig von z ist und h ( y , z ) unabhängig von y ist .$f(y,z)$$g(y,z)$$h(y,z)$$g(y,z)$$z$$h(y,z)$$y$

(Ich finde es hilfreich, als Kantenbeschriftung des vollständigen zweigliedrigen Graphen mit Scheitelpunktmengen { y } und { z } zu visualisieren , wobei g eine Scheitelpunktbeschriftung von { y } und h eine Scheitelpunktbeschriftung von { z } .)$f$$\{y\}$$\{z\}$$g$$\{y\}$$h$$\{z\}$

Sei der Bruchteil von Paaren ( y , z ), so dass g ( y , z ) = 0 ist . Sei g 1 = 1 - g 0 der Bruchteil von Paaren, so dass g ( y , z ) = 1 ist . Ebenso sei h 0 der Bruchteil von Paaren, so dass h ( y , z ) = 0 ist , und sei h $g_0$$(y,z)$$g(y,z) = 0$$g_1=1-g_0$$g(y,z) = 1$$h_0$$h(y,z) = 0$$h_1$sei der Bruchteil von Paaren, so dass .$h(y,z) = 1$

Man gehe ohne Einschränkung der Allgemeinheit davon aus, dass für jedes Paar mit auch f ( y , z ) = g ( y , z ) = h ( y , z) gilt ) . (Andernfalls können wir durch Umschalten des Wertes von f ( y , z ) sowohl ϵ g als auch ϵ h um 1 verringern$g(y,z) = h(y,z)$$f(y,z) = g(y,z) = h(y,z)$$f(y,z)$$\epsilon_g$$\epsilon_h$ , während die abnehmende ε höchstens um 1 / 2 n , so dass dieergebende Funktion noch ein Gegenbeispiel ist.) Eine solche SayPaar ist `` zustimmend ‚‘.$1/2^n$$\epsilon$$1/2^n$

Der Abstand von zu g plus der Abstand von f zu h ist der Bruchteil von ( x , y ) Paaren, die nicht übereinstimmen. Das heißt, & Dgr ; g + & Dgr ; h = g 0 h 1 + g 1 h 0 .$f$$g$$f$$h$$(x,y)$$\epsilon_g + \epsilon_h = g_0 h_1 + g_1 h_0$

Der Abstand von zur Nullfunktion beträgt höchstens 1 - g 0 h 0 .$f$$1 - g_0 h_0$

Der Abstand von zur Einsenfunktion beträgt höchstens 1 - g 1 h 1 .$f$$1-g_1 h_1$

Ferner ist der Abstand von ist , zur nächsten konstanten Funktion höchstens 1 / 2 .$f$$1/2$

Somit wird das Verhältnis beträgt höchstens min ( 1 / 2 , 1 - g 0 h 0 , 1 - g 1 h 1$\epsilon/(\epsilon_g+\epsilon_h)$ wobeig0,h0≤[0,1]undg1=1-g0undh1=1-h0 sind.

$$\frac{\min(1/2, 1-g_0 h_0, 1-g_1 h_1)}{g_0 h_1 + g_1 h_0},$$ $g_0,h_0 \in [0,1]$$g_1 = 1-g_0$$h_1=1-h_0$

Nach Berechnung beträgt dieses Verhältnis höchstens . QED$\frac{1}{2(\sqrt 2 - 1)} = c/2$

Lemma 2 erweitert Lemma 1 auf das allgemeine indem es über jede mögliche Einstellung der 2 k Einflussvariablen punktweise argumentiert . Denken Sie daran, dass c = $k$$2k$.$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$

Lemma 2: Fixiere ein beliebiges . Wenn f heißt ε g -Near eine Funktion g , die aufweist k Einflussgrößen in S 2 , und f ist ε h -Near eine Funktion h , die aufweist k Einflussgrößen in S 1 , dann f IS ε -Near eine Funktion f das hat höchstens 2 k Einflussgrößen, wobei ϵ ≤ ( ϵ g + ϵ h$k$$f$$\epsilon_g$$g$$k$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$k$$S_1$$f$$\epsilon$$\hat f$$2k$ .$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

Beweis. Express als f ( einer , y , b , z ) , wo ( a , y ) der Variablen in enthält S 1 mit einem diejenigen , die Einfluss enthaltenden h , während ( b , Z ) enthält , die Variablen in S 2 mit b diejenigen Beeinflussung enthaltend g . Also g ( a , y , b , $f$$f(a,y,b,z)$$(a,y)$$S_1$$a$$h$$(b,z)$$S_2$$b$$g$ ist unabhängig von z und h ( a , y , b , z ) ist unabhängig von y .$g(a,y,b,z)$$z$$h(a,y,b,z)$$y$

Definieren Sie für jeden festen Wert von und b F a b ( y , z ) = f ( a , y , b , z ) und definieren Sie G a b und H a b entsprechend aus g und h . Sei ϵ g a b der Abstand von F a b zu G a b (beschränkt auf ( $a$$b$$F_{ab}(y,z) = f(a,y,b,z)$$G_{ab}$$H_{ab}$$g$$h$$\epsilon^g_{ab}$$F_{ab}$$G_{ab}$ Paare). Ebenso sei ϵ h a b der Abstand von F a b zu H a b .$(y,z)$$\epsilon^h_{ab}$$F_{ab}$$H_{ab}$

$c_{ab}$$\epsilon_{ab}$$F_{ab}$$c_{ab}$$(\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$$\hat f(a,y,b,z) = c_{ab}$

$\hat f$$a$$b$$k$

$\epsilon_{\hat f}$$(a,b)$$\epsilon_{ab}$$f$$\hat f$$\epsilon_{\hat f}$

$f$$g$$f$$h$$\epsilon_g$$\epsilon_h)$$(a,b)$$\epsilon^g_{ab}$$\epsilon^h_{ab}$

$\epsilon_{ab} \le (\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$$a, b$$\epsilon_{\hat f} \le (\epsilon_g + \epsilon_h)/(2c)$

$c$$k=0$$\epsilon=0.5$

$f$$f$$(0.5/c)$$g$$h$$g$$S_2$$h$$S_1$$f$$0.5$

$y$$z$$x$$S_1$$S_2$$y=(x_1,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2+1},\ldots,x_n)$

$y$$[N]$$N=2^{n/2}$$z$$[N]$$f$$[N]\times[N]$$\{0,1\}$

$f(y,z)$$\max(y,z) \ge \frac{1}{\sqrt 2}N$

$f$$(\frac{1}{\sqrt 2})^2 = \frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$$f$

$g(y,z)$$y\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$g$$S_2$$f$$g$$(y,z)$$y<\frac{1}{\sqrt 2}N$$z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$\frac{1}{\sqrt 2}(1-\frac{1}{\sqrt2}) = 0.5/c$

$f$$h$$h(y,z)=1$$z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$0.5/c$

QED