VC-Dimension von Polynomen (in einer Variablen) vom Grad d

Lineare Funktionen mit einer Variablen haben VC Dimension = 3 und ich erinnere Lese irgendwo , dass die VC für Polynome vom Grad ist . $d$ $(d^2 + 3d + 2)/2$

Ich suche nach Ideen, die die obige Behauptung beweisen können (und vielleicht auch auf viele Variablen verallgemeinern können, obwohl das zu viel zu hoffen scheint).

Jeder Ansatz, auch ein unvollständiger, wird geschätzt.

So definieren Sie das Problem richtig: Wenn Sie eine Ebene (2D-, x- und y-Koordinaten) angeben, wie groß ist die maximale Menge, die zerstört werden kann, wenn Sie im Modus Polynomklassifizierungsfunktionen ( ) verwenden können und Sie können frei wählen, welche Seite der Kurve Sie als positiv kennzeichnen möchten. $y=p(x)$ $d$

Beschriften Sie beispielsweise (x, y) als positiv, wenn . $y > x^2 +5x +9$

cg.comp-geom vc-dimension

— Karan
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Ich arbeite nicht in der Gegend, aber ich würde die Frage gerne verstehen. Was ist die Domäne und der Bereich dieser Funktionen? Können Sie ein wenig erklären, wie lineare Funktionen in einer Variablen die VC-Dimension 3 haben?

— Robin Kothari

Die Anweisung wird besser umformuliert als: Bereichsräume, die durch Bereiche definiert sind, die als Ungleichungen ausgedrückt werden können, wobei f (x) eine lineare Funktion ist, haben die VC-Dimension 3 (dies liegt daran, dass dieser Bereichsraum der Bereichsraum von ist halbe Räume in 2D)

f (x) \leq 0

$f(x) \le 0$

— Suresh Venkat

@ Suresh: Danke für die Klarstellung. Aus Ihrer Antwort geht hervor, dass die allgemeine Frage lautet: Was ist die VC-Dimension von Bereichsräumen, die durch Grad-d-Funktionen (anstelle von linearen) Funktionen wobei anstelle von .

f (x) \leq 0

$f(x) \leq 0$

x \in R^{n}

$x \in \mathbb{R}^n$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— Robin Kothari

Antworten:

Die grundlegende Methode funktioniert folgendermaßen: Angenommen, Ihre Ungleichungen haben die Form

\sum_{i \leq d} a_{i} x^{i} \leq 0

$\sum_{i \le d} a_i x^i \le 0$

Anschließend erstellen Sie eine Hebekarte für einen Raum höherer Dimension, in dem jedes Monom einer Dimension entspricht. Jetzt kann das Polynom als lineare Kombination der neuen Dimensionen ausgedrückt werden, und Sie können das übliche Ergebnis für halbe Räume im resultierenden Raum aufrufen.

Ich bin mir nicht sicher, woher Sie Ihre Bindung beziehen: Der korrekte Ausdruck für die VC-Dimension von Polynomen in d Variablen des Grades D ist , was der Anzahl der Monome des Grades höchstens D entspricht gebildet aus d Variablen. $\binom{d + D}{d}$

— Suresh Venkat
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Recht. Das OP sagte jedoch nicht, wie viele Variablen es gab.

— Suresh Venkat

Meine Ungleichungen beinhalten y und ein Polynom in x. Ich habe einige Änderungen am Problem vorgenommen, in der Hoffnung, das Problem genauer zu definieren.

— Karan

Und gem. Zu dem Problem, das ich angegeben habe, sollten Quadrate in x mindestens 4 Punkte (die ich sehen kann) und gem. Nach der Formel, die ich gegeben habe, sollte es 6 Punkte zerbrechen! (nicht sicher, ob es gilt)

— Karan

Die Formel ist eine Obergrenze.

— Suresh Venkat

In Ihrem modifizierten Problem lautet die Antwort D + 1

— Suresh Venkat

Das Folgende basiert auf Jiri Matouseks Geometric Discrepancy- Buch.

Definieren Sie einen Bereichsraum in durch wie folgt parametrisiert wird . Sei ein Grad- Polynom in Variablen. Für jedes ist die Menge definiert als . Zum Beispiel sind Kreise definiert als . $\mathbb{R}^d$ $a_1, \ldots, a_p$ $f$ $D$ $d + p$ $a \in \mathbb{R}^p$ $S(a)$ $S(a) = \{x \in \mathbb{R}^d: f(x, a) \leq 0\}$ $(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 - 1 \leq 0$

Wir können eine Grenze für eine Menge erhalten, die in diesem Modell empfindlicher als die VC-Dimension ist. Definieren Sie als die maximale Anzahl unterschiedlicher Mengen, die durch auf einer beliebigen Menge von Punkten induziert werden , dh wobei das Maximum übernommen wird, setzt von Punkten. Dies ist die ursprüngliche Shatter-Funktion des Bereichsraums . Beachten Sie, dass die VC-Dimension des Bereichsraums das Maximum ist, so dass . Auch wenn die VC-Dimension eines Bereichsraums $\pi(m)$ $\{S(a)\}$ $m$

π (m) = max_{X \subseteq R^{d}} | {S (a) \cap X} |,

$\pi(m) = \max_{X \subseteq \mathbb{R}^d}{|\{S(a) \cap X\}|},$

X

$X$

m

$m$

{S (a)}

$\{S(a)\}$

m

$m$

π (m) = 2^{m}

$\pi(m) = 2^m$

k

$k$ dann ist seine Bruchfunktion durch .

O (m^{k})

$O(m^k)$

Für Polynome ist , ein Vorzeichenmuster, wenn es solches gibt dass für alle Zeichen des ist . Ein Ergebnis der algebraischen Geometrie ist, dass die maximale Anzahl unterschiedlicher Vorzeichenmuster von Grad Polynomen in Variablen durch . $m$ $f_1(a), \ldots, f_m(a)$ $\sigma = (\sigma_1, \ldots, \sigma_m) \in \{-, +\}^m$ $a$ $i$ $f_i(a)$ $\sigma_i$ $m$ $D$ $p$ $2^{O(p)}(Dm/p)^p$

Verwenden wir diesen Satz. Definiere . Wir erhalten dasist genau die Anzahl der unterschiedlichen Vorzeichenmuster von . Insbesondere wenn ein Bereichsraum durch eine Familie von Polynomen konstanten Grades in Parametern gegeben ist, ist seine Bruchfunktion durch . $f_i(a) = f(x^i, a)$ $|\{S(a) \cap X\}|$ $f_1, \ldots, f_m$ $p$ $O(m^p)$

— Sasho Nikolov
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