Komplexität der Sortierung

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass das Sortieren eines Arrays von Zahlen für schwierig ist . Wenn die Eingabe ein Array von 1s und 0s ist, ist es im Wesentlichen die Funktion (bei Bits wird die Anzahl von 1 binär ausgegeben), da für vollständig ist und dies möglich ist unäre Zahlen in Binärzahlen und (logarithmisch) kleine Binärzahlen in unäre Zahlen in umzuwandeln $\mathsf{TC^0}$ $Count$ $n$ $Count$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{AC^0}$ :

$Count(\vec{x}) = Binary(Sort(\vec{x}))$
$Sort(\vec{x}) = Unary(Count(\vec{x}))$

Die Potenz von besteht also im Wesentlichen darin, eine binäre Zeichenfolge zu sortieren (z. B. 100011 bis 000111). Dies gilt allgemeiner, wenn die Zahlen im Array begrenzt sind. Meine Frage ist, was ist, wenn die Zahlen nicht begrenzt sind? $\mathsf{TC^0}$

Ist das Problem, ein Array unbegrenzter Zahlen zu sortieren, immer noch in ? Ist es für eine größere Klasse wie vollständig ? $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$

cc.complexity-theory circuit-complexity sorting

— Kaveh
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Übrigens, wenn Sie eine Referenz für "Sortieren von Arrays von Bits ist

vollständig" kennen, lassen Sie es mich bitte wissen.

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

— Kaveh

Haben Sie Cook & Nguyen überprüft?

— Yuval Filmus

@Kaveh, die Reduktion erfolgt in Chandra, Stockmeyer und Vishkin, "Constant Depth Reducibility", SIAM J. Comput. 13 (2), 1984.

— Jan Johannsen

$n$ $x_1,\ldots,x_n$ $m \geq \log n$ $\log n$ $x_i$ $v$ $v_j = 1$ $x_j \geq x_i$ $v$ $w$ $k$ $w_k = 1$ $w_{k-1} = 0$ $w_0=0$ $w_{n+1}=1$ $k$ $i \in [n]$

— Yuval Filmus
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netter Trick :) (zähle die Anzahl der kleineren Zahlen im Array), danke Yuval.

— Kaveh