Bedeutet die Spurennorm, dass die Differenz zweier Dichtematrizen eins ist, dass diese beiden Dichtematrizen gleichzeitig diagonalisierbar sein können?

Ich glaube, die Antwort auf diese Frage ist bekannt. aber leider weiß ich es nicht.

Beim Quantencomputing wissen wir, dass gemischte Zustände durch Dichtematrizen dargestellt werden. Und die Spurennorm der Differenz zweier Dichtematrizen kennzeichnet die Unterscheidbarkeit der beiden entsprechenden Mischzustände. Hier ist die Definition der Spurennorm die Summe aller Eigenwerte der Dichtematrix mit einem zusätzlichen multiplikativen Faktor 1/2 (entsprechend der statistischen Differenz zweier Verteilungen). Es ist bekannt, dass, wenn die Differenz zweier Dichtematrizen eins ist, die entsprechenden zwei gemischten Zustände vollständig unterscheidbar sind, während, wenn die Differenz Null ist, die beiden gemischten Zustände vollständig nicht unterscheidbar sind.

Meine Frage ist, impliziert die Spurennorm, dass die Differenz zweier Dichtematrizen eins ist, dass diese beiden Dichtematrizen gleichzeitig diagonalisierbar sein können? Wenn dies der Fall ist, verhält sich die optimale Messung zur Unterscheidung dieser beiden gemischten Zustände so, als würden zwei Verteilungen über dieselbe Domäne mit disjunkter Unterstützung unterschieden.

Hier ist eine Möglichkeit, die Tatsache zu beweisen, dass Sie interessiert sind.

Angenommen, und sind Dichtematrizen. Wie jede andere hermitesche Matrix ist es möglich , den Unterschied auszudrücken als für und positiv semidefinite und mit orthogonalen Bildern. (Manchmal wird dies als Jordan-Hahn-Zerlegung bezeichnet. Sie ist einzigartig und leicht aus einer spektralen Zerlegung von .) Beachten Sie, dass die Tatsache, dass und orthogonale Bilder haben, impliziert, dass sie gleichzeitig diagonalisierbar sind, was ich interpretiere ist die Immobilie, an der Sie interessiert sind.ρ 1 ρ 0 - ρ 1 ρ 0 - ρ 1 = P 0 - P 1 P 0 P 1 ρ 0 - ρ 1 P 0 P $\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$$P_0$$P_1$

Die Trace-Norm der Differenz (wie Sie sie definieren, mit dem Multiplikationsfaktor 1/2) ist gegeben durch Unter der Annahme, dass diese Größe 1 ist, schließen wir, dass und , was beweist, was Sie beweisen möchten.$\rho_0-\rho_1$

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Um diese Schlussfolgerung zu ziehen, beachten Sie zunächst, dass und , also . Als nächstes nehmen und als orthogonale Projektionen auf die Bilder von bzw. . Wir haben also Beide und$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$muss in dem Intervall [0,1] enthalten sein, aus dem wir schließen, dass und . Es ist nicht schwer Aus diesen Gleichungen ist zu dem Schluss und , und daher durch die Gleichung oben. Ein ähnliches Argument zeigt .$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$$\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Ja. Wenn der Spurenabstand zweier Dichtematrizen gleich 1 ist, haben sie orthogonale Träger und sind daher gleichzeitig diagonalisierbar.