Konsequenzen der Untergrenzen für Netze bei der Approximation

Viele hier kennen wahrscheinlich Alons jüngste superlineare Untergrenzen für Netze in einer natürlichen geometrischen Umgebung [PDF] . Ich würde gerne wissen, was, wenn überhaupt, eine solche Untergrenze für die Annäherung der damit verbundenen Set-Cover- / Hitting-Set-Probleme bedeutet. $\epsilon$

Um etwas genauer zu sein, betrachten Sie eine Familie von Bereichsräumen, zum Beispiel die Familie:

$\big\{(X,\mathcal{R})$ : ist eine endliche planare Punktmenge, enthält alle Schnittpunkte von mit Linien$X$$\mathcal{R}$$X$$\big\}$

Wenn für eine Funktion , die linear oder superlinear ist , die Familie einen Bereichsraum enthält, der keine Netze der Größe zulässt , was bedeutet dies, wenn überhaupt, für das Minimum Hitting? Problem auf diese Familie von Bereichsräumen beschränken?$f$$\epsilon$$f(1/\epsilon)$

Wenn ein Bereichsraum ein Netz der Größe , beträgt die Integralitätslücke des gebrochenen Schlagsatzes (oder der Satzabdeckung) . Sehen Sie sich die Arbeit von Philip Long an ( hier [Die Arbeit von Even et al. Ist später als diese Arbeit und entdecken Sie einige seiner Sachen wieder]). Siehe auch die Folien 13-16 hier .$\epsilon$$f(1/\epsilon)$$f(1/\epsilon)/(1/\epsilon)$

Kurz gesagt, wenn nichtlineare Netze vorhanden sind, bedeutet dies, dass es sehr schwierig sein wird, das relevante Problem der Treffermenge / Satzabdeckung innerhalb eines besseren als eines konstanten Faktors zu approximieren.$\epsilon$

Ich bin mir nicht sicher, ob es irgendetwas bedeutet. Die Hauptergebnisse fließen in die andere Richtung, dh durch die Konstruktionen Bronnimann / Goodrich oder Even / Rawitz / Shahar . Ein lineares Netz impliziert eine konstante Faktornäherung für die Schlagmenge (für die begrenzte VC-Dimension).