Ein Diagrammparameter, der möglicherweise mit der Baumbreite zusammenhängt

Ich interessiere mich für Graphen auf $n$ Eckpunkten, die nach folgendem Verfahren erzeugt werden können.

1. Beginnen Sie mit einem beliebigen Graphen auf k ≤ n Ecken. Beschriften Sie alle Eckpunkte in G als nicht verwendet .$G$$k\le n$$G$
2. Erstellen Sie einen neuen Graphen indem Sie einen neuen Scheitelpunkt v hinzufügen , der mit einem oder mehreren nicht verwendeten Scheitelpunkten in G verbunden ist und mit keinen verwendeten Scheitelpunkten in G verbunden ist . Beschriften Sie v als unbenutzt .$G'$$v$$G$$G$$v$
3. Beschriften Sie einen der Eckpunkte in mit dem v wie verwendet verbunden ist .$G'$$v$
4. Setze auf G ' und wiederhole ab Schritt 2, bis G n Eckpunkte enthält .$G$$G'$$G$$n$

Nennen Sie solche Graphen "Graphen der Komplexität " (Entschuldigung für die vage Terminologie). Wenn beispielsweise G ein Graph der Komplexität 1 ist, ist G ein Pfad.$k$$G$$G$

Ich würde gerne wissen, ob dieser Prozess zuvor untersucht wurde. Insbesondere für beliebige , ist es NP-vollständig , um zu bestimmen , ob ein Graph Komplexität hat k ?$k$$k$

Dieses Problem erscheint der Frage ähnlich, ob ein partieller k- Baum ist , dh die Baumbreite k hat . Es ist bekannt, dass die Bestimmung, ob G die Baumbreite k hat, NP-vollständig ist. Einige Diagramme (z. B. Sterne) haben jedoch möglicherweise eine viel geringere Baumbreite als das hier diskutierte Maß für die Komplexität.$G$$k$ $k$$G$$k$

4. Oktober 2012: Frage Cross-Gepostet zu MathOverflow nach dort nach einer Woche keine schlüssige Antwort war (obwohl danke für die Info über kausale fließt).

Obwohl wir uns vorher persönlich darüber unterhalten haben, werde ich dies in der Hoffnung hinzufügen, dass dies jemand anderem ermöglicht, eine vollständige Antwort zu geben.

Definieren Sie beim Hinzufügen von Scheitelpunkten eine Teilfunktion von jedem verwendeten Scheitelpunkt v zu dem Scheitelpunkt, der hinzugefügt wurde, als v verwendet wurde. Dann stellt sich heraus, dass f eine (kausale) Flussfunktion ist (S. 39), die eine eingeschränkte Version einer Pfadabdeckung ist. In der Tat ist Ihre Beschreibung dieser Graphen der "Komplexität k " (unter Berücksichtigung einer Menge von Eckpunkten, die die anfänglich nicht verwendeten Eckpunkte und die endgültig nicht verwendeten Eckpunkte sein sollen) genau die Sternzerlegung einer "Geometrie" mit einem kausalen Fluss (p. 46 des obigen Artikels).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Obwohl diese "kausalen Flüsse" hauptsächlich im Zusammenhang mit (messungsbasierten) Quantenberechnungen untersucht wurden - wo sie durch bestimmte Strukturen einheitlicher Schaltkreise motiviert sind -, gibt es graphentheoretische Ergebnisse, die sich vollständig von der Quantenberechnung unterscheiden:

Eindeutigkeitsmodulo-Endpunkte : Die Graphen mit "Komplexität  " sind genau diejenigen, für die es (möglicherweise sich überschneidende) Mengen S , T ⊆ V ( G ) gibt , die beide die Größe k haben , so dass G genau eine Pfadabdeckung der Größe k hat, deren Pfade in starten S und enden T .$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Extremale Graphen : Ein Graph auf Ecken mit der "Komplexität k " hat höchstens k n - ( k + $n$$k$ Kanten.$kn - \binom{k+1}{2}$

$S,T$$O(k^2 n)$

$k$$k$

$v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$Pfade, zu welchem ​​Pfad sie gehören, und die Reihenfolge der Segmente, die zu demselben Pfad gehören. Und für jedes Segmentpaar, das zu verschiedenen Pfaden gehört, müssen wir nur den ersten und den letzten Pfad des Zick-Zack kennen.

$k$$f(k) \cdot poly(n)$