Was ist die korrekte Definition von

Wie der Titel sagt, was ist die korrekte Definition von Baum? Es gibt mehrere Artikel, die sich mit k- Bäumen und partiellen k- Bäumen als alternative Definitionen für Diagramme mit begrenzter Baumbreite befassen, und ich habe viele scheinbar inkorrekte Definitionen gesehen. Zum Beispiel definiert mindestens eine Stelle k- Bäume wie folgt:$k$$k$$k$$k$

Ein Graph wird nur dann als Baum bezeichnet, wenn entweder G der vollständige Graph mit k Eckpunkten ist oder G einen Eckpunkt v mit dem Grad k - 1 hat, so dass G ∖ v ein k- Baum ist. Ein partieller k- Baum ist ein beliebiger Untergraph eines k- Baums.$k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

Nach dieser Definition kann man folgendes Diagramm erstellen:

1. Beginnen Sie mit einer Kante , einem 2- Baum.$(v_1, v_2)$$2$
2. Erstellen Sie für einen Scheitelpunkt v i und fügen Sie ihn neben v i - 1 und v i - 2 ein .$i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$

Dies würde einen Streifen von Quadraten mit Diagonalen erzeugen . In ähnlicher Weise können wir vom ersten Quadrat aus in einer Richtung senkrecht zum darüber liegenden Streifen ein Band erstellen. Dann hätten wir die erste Zeile und erste Spalte eines n × n- Gitters. Das Ausfüllen des Gitters ist einfach, indem Sie Scheitelpunkte erstellen und mit den Scheitelpunkten oben und links verbinden.$n$$n \times n$

Das Endergebnis ist ein Graph, der ein Gitter enthält, von dem bekannt ist, dass es die Baumbreite n hat .$n\times n$$n$

Eine korrekte Definition von Bäumen muss wie folgt lauten:$k$

Ein Graph ist ein sogenannter -Baum , wenn und nur wenn entweder G ist ein vollständiger Graph mit k Ecken oder G einen Scheitelpunkt hat v mit dem Grad k - 1 , so dass der Nachbar von v bildet eine k -clique, und G v ein k- Baum.$k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

In diesem Fall kann das oben beschriebene gitterartige Diagramm nicht erstellt werden.

Hab ich recht?

Grundsätzlich stimme ich Ihnen zu, mit nur einer kleinen Änderung:

Ein Graph $G$ ist genau dann ein $k$ Baum, wenn entweder $G$ ein vollständiger Graph mit $k+1$ Eckpunkten ist oder $G$ einen Eckpunkt $v$ so dass die (offene) Nachbarschaft von $v$ eine $k$ Klasse bildet, und $G - v$ ist ein $k$ Baum.

Mit anderen Worten, $v$ sollte den Grad $k$ , stattdessen $k-1$ in Ihrer Definition.

Ich persönlich bevorzuge die Bottom-up-Definition, aber das ist nur Geschmackssache:

• Der vollständige Graph auf $k+1$ Eckpunkten ist ein $k$ Baum.
• Ein $k$ Baum $G$ mit $n+1$ Eckpunkten ( $n\ge k+1$ ) kann aus einem $k$ Baum $H$ mit $n$ Eckpunkten konstruiert werden, indem ein Eckpunkt benachbart zu genau $k$ Eckpunkten hinzugefügt wird , die eine $k$ Klasse in $H$ .
• Keine anderen Graphen sind $k$ Bäume.

Diese Definition ist eine leicht abgewandelte Version der Definition aus den Vorlesungsunterlagen von Pinar Heggernes .