Anwendungen der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe

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Inspiriert von dieser Frage und insbesondere dem letzten Absatz von Ors Antwort, habe ich folgende Frage:

Kennen Sie Anwendungen der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe in TCS?

Die symmetrische Gruppe ist die Gruppe aller Permutationen von mit Gruppenoperationszusammensetzung. Eine Darstellung von ist ein Homomorphismus von zu der allgemeinen linearen Gruppe von invertierbaren komplexen Matrizen. Eine Repräsentation wirkt durch Matrixmultiplikation auf . Eine irreduzible Darstellung von ist eine Aktion, die keinen richtigen Unterraum von invariant lässt. Irreduzible Darstellungen endlicher Gruppen erlauben es, eine Fourier-Transformation über nicht-abelsche Gruppen zu definieren $S_n$ $\{1, \ldots, n\}$ $S_n$ $S_n$ $n \times n$ $\mathbb{C}^n$ $S_n$ $\mathbb{C}^n$ . Diese Fourier-Transformation teilt einige der schönen Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation über zyklische / abelsche Gruppen. Beispielsweise wird die Faltung auf der Fourier-Basis zur punktweisen Multiplikation.

Die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe ist wunderbar kombinatorisch. Jede irreduzible Darstellung von entspricht einer ganzzahligen Partition von . Hat diese Struktur und / oder die Fouriertransformation über die symmetrische Gruppe irgendeine Anwendung in TCS gefunden? $S_n$ $n$

— Sasho Nikolov
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siehe auch anwendungen der symmetrischen gruppe , wikipedia

— vzn 23.09.12

alles sehr interessante antworten. Ich werde es schwer haben, einen auszuwählen, der akzeptiert werden soll.

— Sasho Nikolov

anständige rein theoretische Einführung / Übersicht, Young Tableaux und die Darstellungen der Symmetrischen Gruppe, von Zhao

— vzn

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Diese Arbeit befasste sich gerade mit dem quant-ph arXiv: Eine Lösung für die Zwei-Parteien-Typizität unter Verwendung der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe von Janis Noetzel.

— Tyson Williams

Die symmetriebasierte Matrixfaktorisierung von Egner und Puschel verwendet Elemente von und der Darstellungstheorie für eine effiziente Matrixfaktorisierung / -zerlegung / -multiplikation. Siehe S3.2 zur Perm-Perm-Symmetrie.

S_{n}

$S_n$

— VZN

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Hier sind einige andere Beispiele.

Diaconis und Shahshahani (1981) untersuchten, wie viele zufällige Transpositionen erforderlich sind, um eine nahezu gleichmäßige Permutation zu erzeugen. Sie zeigten eine scharfe Schwelle von 1/2 n log (n) +/- O (n). Erzeugen einer zufälligen Permutation mit zufälligen Transpositionen .
Kassabov (2005) hat bewiesen, dass man auf der symmetrischen Gruppe einen begrenzten Gradexpander aufbauen kann. Symmetrische Gruppen und Expandergraphen .
Kuperberg, Lovett und Peled (2012) haben bewiesen, dass es kleine Mengen von Permutationen gibt, die gleichmäßig auf k-Tupel wirken. Probabilistische Existenz starrer kombinatorischer Strukturen .

— Shachar Lovett
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Danke Shachar und willkommen bei cstheory! Ich habe mir die Freiheit genommen, Ihre Links zu reparieren: Sie waren ein bisschen unpassend

— Sasho Nikolov

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Eine sehr gute Frage. Ich kenne die vollständige Antwort nicht und würde sie gerne selbst erfahren. Möglicherweise finden Sie jedoch Folgendes interessant. Betrachten wir statt der Gruppe ihr 0-Hecke-Monoid , so liegt eine Repräsentation auf einer bestimmten Klasse ganzzahliger Matrizen vor, die durch tropische -Multiplikation wirkt. Dies hat eine Menge interessanter Anwendungen in der Stringologie, und zwar über kürzeste Wege mit mehreren Quellen in gitterartigen Graphen. Einzelheiten finden Sie in meinem technischen Bericht: $S_n$ $H_0(S_n)$ $(\min,+)$

A. Tiskin. Semi-lokaler Stringvergleich: Algorithmische Techniken und Anwendungen. http://arxiv.org/abs/0707.3619

— Alexander Tiskin
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Danke! Das sieht sehr interessant aus und ich werde es auf jeden Fall ausprobieren.

— Sasho Nikolov

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Hier ist ein Beispiel, das ich kenne:

"Über die" Log-Rank " -Vermutung in Kommunikationskomplexität" , R.Raz, B.Spieker,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588

Ich glaube das gibt noch viel mehr.

— Klim
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Können Sie zusammenfassen, was die Darstellungsmodelle sind und wie sie angewendet werden?

— Vijay D

@VijayD wahrscheinlich Klim weiß mehr, aber das Problem hier ist, wie die Kommunikationskomplexität einer Funktion bezieht sich auf das Logbuch seines Ranges (man denke an als eine reelle Matrix). Sie konstruieren ein von Rang und CC . Der Rang von wird berechnet, indem er als die Summe der Matrizen in der regulären Darstellung von

f : {0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$

f

$f$

2^{d} \times 2^{d}

$2^d \times 2^d$

f

$f$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Ω (n \log \log n)

$\Omega(n \log \log n)$

f

$f$

S_{n}

$S_n$

— Sasho Nikolov

Eigentlich habe ich dieses Papier vor einiger Zeit gelesen und kann mich jetzt nicht mehr genau daran erinnern.

— Klim

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Hier ist ein Beispiel aus dem Quantencomputing:

Roland, Jeremie; Roetteler, Martin; Magnin, Loïck; Ambainis, Andris (2011), "Symmetrie-unterstützte Gegner für die Erzeugung von Quantenzuständen", Proceedings der 26. IEEE-Jahreskonferenz 2011 zu Computational Complexity, CCC '11, IEEE Computer Society, S. 167–177, doi: 10.1109 / CCC. 2011.24

Sie zeigen, dass die Quantenabfragekomplexität eines bestimmten Problems mit der Bezeichnung Index Erasure wobei die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe verwendet wird, um eine optimale Gegnermatrix zu konstruieren, die sich in die Quantengegnermethode einfügt. $\Omega(\sqrt{n})$

— Robin Kothari
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Knuths dritter Band der Art of Computer Programming widmet sich dem Suchen und Sortieren sowie der Kombinatorik und den Permutationen und der Robinson-Schensted-Knuth-Korrespondenz , die in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe von zentraler Bedeutung ist.
Es gibt mehrere Arbeiten von Ellis-Friedgut-Pilpel und Ellis-Friedgut-Filmus, die extreme kombinatorische Probleme mit Hilfe der Harmonischenanalyse an lösen . Nicht ganz TCS, aber ganz in der Nähe. $S_n$
Ajtai hatte in den frühen 90er Jahren wunderbare Ergebnisse zur modularen Darstellung von die durch Fragen der rechnerischen Komplexität motiviert waren. Ich erinnere mich nicht an die Details oder ob sie veröffentlicht wurden, aber das ist es wert, durchgesehen zu werden! $S_n$

— Gil Kalai
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Danke Gil! Ich glaube, einer der Artikel von Ajtaj, an den Sie denken, ist dieser: eccc.hpi-web.de/eccc-reports/1994/TR94-015/index.html . Ich denke, die Anwendung ist auf die Beweiskomplexität des Pigeonhole-Prinzips gerichtet, aber ich verstehe den Zusammenhang noch nicht ganz.

— Sasho Nikolov

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Die symmetrische Gruppe trotzt starker Fourier-Abtastung von Moore, Russell, Schulman

"Wir zeigen, dass das Problem der versteckten Untergruppen über der symmetrischen Gruppe nicht effizient durch eine starke Fourier-Abtastung gelöst werden kann ... Diese Ergebnisse gelten für den Sonderfall, der für das Graphisomorphismus-Problem relevant ist."

mit einer Verbindung zur Lösung des Graph-Isomorphismus-Problems über QM-Ansätze

sek 5 Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe

— vzn
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Mehr Statistik als Informatik, aber dennoch interessant: In Kapitel 8 der Monographie von Diaconis zu Gruppenpräsentationen in Wahrscheinlichkeit und Statistik werden Spektralanalysetechniken für Daten entwickelt, die mit einer Gruppe assoziiert sind. Dies erweitert die klassische Spektralanalyse von Zeitreihendaten, wobei das natürliche der Real oder die Ganzzahlen sind, die hinzugefügt werden. Es ist sinnvoll, als wenn Daten durch Rangfolgen angegeben werden. Die Monographie geht auf die Interpretation der Fourier-Koeffizienten von Rangdaten ein. In diesem Fall wird der Datensatz durch ein spärliches $G$ $G$ $G$ $S_n$ $f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ Hiermit wird die Rangfolge (durch eine Permutation vorgegeben) dem Bevölkerungsanteil zugeordnet, der die Rangfolge bevorzugt.

Ebenfalls im selben Kapitel wird die Fourier-Analyse über die symmetrischen und anderen Gruppen verwendet, um ANOVA-Modelle und -Tests abzuleiten.

Eine natürliche Erweiterung davon wäre die statistische Lerntheorie für Rangordnungsprobleme, die von repräsentationstheoretischen Techniken in ähnlicher Weise profitiert, wie die Lerntheorie für die binäre Klassifikation unter der gleichmäßigen Verteilung von der Fourier-Analyse des Booleschen Würfels profitiert hat.

— Sasho Nikolov
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Wie ist die natürliche Gruppenstruktur für Rankingprobleme?

— Suresh Venkat

1

@Suresh Ich hatte die symmetrische Gruppe im Sinn, aber mein letzter Absatz ist mehr Wunschdenken als alles andere. Ich hatte ein Junta-ähnliches Problem in Bezug auf Ranglisten im Sinn: Ich lernte eine Funktion , die von der relativen Reihenfolge von nur wenigen Elementen von aus wenigen Stichproben abhängt . Möglicherweise können Fouriertechniken nicht-triviale Stichprobengrenzen ergeben

f : S_{n} \to {0, 1}

$f:S_n \rightarrow \{0, 1\}$

[n]

$[n]$

— Sasho Nikolov,

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Die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe spielt eine Schlüsselrolle im Ansatz der Geometrischen Komplexitätstheorie für Untergrenzen der Determinante oder der Matrixmultiplikation.

Bürgisser und Ikenmeyer beweisen mit der Darstellungstheorie von eine Untergrenze für den Randrang der Matrixmultiplikation . $S_n$
Wie sich die Darstellungstheorie von auf Untergrenzen der Determinante bezieht, erfahren Sie unter Geometrische Komplexitätstheorie II: Auf dem Weg zu expliziten Hindernissen für Einbettungen zwischen Klassensorten und Geometrische Komplexitätstheorie VI: Der Flip via Positivität $S_n$

— Joshua Grochow
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Huangs-Doktorarbeit, PROBABILISTISCHE BEGRÜNDUNG UND LERNEN ÜBER PERMUTATIONEN: Ausnutzung struktureller Zerlegungen der symmetrischen Gruppe . Die Anwendung ist "ein echtes kamerabasiertes Tracking-Szenario für mehrere Personen".
Fouriertheoretische probabilistische Inferenz über Permutationen von Huang, Guestrin, Guibas; Journal of Machine Learning Research 10 (2009) 997-1070. siehe zB Abschnitt 5. Darstellungstheorie auf der symmetrischen Gruppe
ein weiteres Multitracking-Antragspapier. Multi-Objekt-Tracking mit Darstellungen der symmetrischen Gruppe (2007) von Kondor, Howard, Jebara
Lernwahrscheinlichkeitsverteilungen über Permutationen mittels Fourierkoeffizienten, Irurozki, Calvo, Lozano (Abt. CS / AI). siehe Abschnitt 2 Die Fourier-Transformation für die symmetrische Gruppe

— vzn
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1

Ich würde vorschlagen, diese Antwort mit der anderen Referenz für

— Lernpermutationen zu kombinieren

ok ... verschmelzen ...

— vzn

siehe auch Interpretation des Phasenspektrums in der Fourier-Analyse von Partial-Ranking-Daten und Ein signalverarbeitender Ansatz zur Fourier-Analyse von Ranking-Daten: Die Wichtigkeit der Phase von Kakarala, die eine viel frühere Arbeit von Diaconis zu erweitern scheint

— vzn

-1

Anwendung der Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen zur Berechnung chromatischer Polynome von Graphen nach Klin und Pech

— vzn
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ps application - graph coloring

— vzn

-2

In dieser von Beals 1997 zitierten Veröffentlichung scheint STOC zu beweisen, dass die Quantenberechnung von Fourier-Transformationen über symmetrische Gruppen in BQP (Quantenpolynomialzeit) erfolgt

— vzn
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2

Auch dies trifft auf das andere Quantenpapier zu, auf das Sie sich beziehen. Die Hauptmotivation für die Entwicklung der nicht-abelschen Fouriertransformation bestand darin, sie zur Lösung des Problems der versteckten Untergruppen gegenüber der symmetrischen Gruppe zu verwenden. Das andere Papier, das Sie zitieren, zeigt, dass dieser Ansatz das Problem nicht löst.

— Sasho Nikolov

Übrigens, um klar zu sein: Was ich mit dem obigen Kommentar meine, ist vorzuschlagen, diese Antwort mit der anderen QM-Antwort zu verschmelzen und zu erklären, wie die beiden zusammenhängen (weil sie sind)

— Sasho Nikolov

ok Moore et al zitieren Beals, obwohl ich das Beals-Papier nicht so gefunden habe. könnte später zusammengeführt werden, aber im Moment scheint dies einigen Zuschauern nicht zu gefallen. Beals ref, aus welchem Grund auch immer (alt, ersetzt etc ...?)

— vzn

Ich bin nicht sicher, ich denke, es ist eine gute Referenz. Ein Problem für mich ist, dass Sie nicht erklären, warum es wichtig ist, die nicht-abelsche Fouriertransformation berechnen zu können, wie sie motiviert ist.

— Sasho Nikolov

1

Ich würde es vorziehen, wenn die Antworten für sich allein stehen und dem Leser genügend Anhaltspunkte geben, um entscheiden zu können, ob er die vollständige Arbeit lesen möchte oder nicht. Ich möchte, dass die Antwort mehr als nur ein oberflächliches Verständnis des Materials zeigt.

— Sasho Nikolov

-5

Ein älteres Beispiel, das sich jedoch noch in der jüngsten / laufenden Forschung befindet. Ein Teil dieser Theorie taucht in der Mathematik des "perfekten Shuffle" auf , das als Element der symmetrischen Gruppe angesehen wurde und zu dieser Zeit eine berühmte Entdeckung war. [1] erwähnt Anwendungen des Perfect Shuffle für Parallelverarbeitungsalgorithmen sowie die Verbindung zu Cooley-Tukey O (n log n) DFT. [2] ist neuer. Die perfekte Mischung zeigt sich in Parallelverarbeitung [3], Speicherdesign und Sortiernetzwerken.

[1] Mathematik des perfekten Mischens von Diaconis, Graham, Cantor. 1983

[2] Zyklen der Multiway Perfect Shuffle Permutation von Ellis, Fan, Shallit (2002)

[3] Parallelverarbeitung mit dem perfekten Shuffle von Stone, 1971

[4] Omega-Netzwerk basierend auf perfektem Mischen

[5] Paralleles und sequentielles In-Place-Permutieren und perfektes Mischen mithilfe von Involutionen Yang et al. (2012)

— vzn
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1

Wird in diesen Arbeiten die Darstellungstheorie verwendet?

— Sasho Nikolov

scheint ein besonderer Fall davon zu sein

— vzn

2

Was ist ein Sonderfall von was? Der perfekte Shuffle ist eine Permutation. Ich frage mich, ob in den Beweisen in diesen Papieren die Darstellungstheorie verwendet wird. Ich habe keine gefunden.

— Sasho Nikolov

3

Ansonsten gibt es probabilistische Modelle für das (unvollkommene) Mischen, und das wiederholte Mischen mit einem dieser Modelle ist eine zufällige Folge von Permutationen. Manchmal kann man die Mischzeit eines solchen Zufallslaufs mit Hilfe der Fourier-Analyse der symmetrischen Gruppe analysieren: Shachar gab ein Beispiel für die zufällige Transpositions-Shuffle. Ihre Referenzen sind interessant, aber ich sehe keinen Zusammenhang mit der Darstellungstheorie: Die Arbeiten befassen sich mit einigen (zwei in [1]) deterministischen Shuffles und den Permutationsgruppen, die sie erzeugen. Die Analyse scheint kombinatorisch zu sein

— Sasho Nikolov

unvollkommenes Mischen ist auch interessant, aber der ganze Punkt der Antwort ist perfektes Mischen. Anscheinend könnten die oben genannten Ergebnisse in der Darstellungstheorie neu formuliert oder bewiesen werden oder verwenden einige Kernaspekte davon, ohne dass ein offensichtlicher / direkter Bezug darauf besteht. Die Antwort von note shachars zitiert Diaconis, denselben Autor, auf einem der Artikel in dieser Antwort. Mit anderen Worten, die oben genannten Autoren könnten Ihre Frage sicherlich besser beantworten, aber meine Erwartung ist, dass sie zumindest etwas bejahend antworten würden =) ... außerdem haben Sie gerade die Darstellungstheorie in Ihrer eigenen Frage als "wunderschön kombinatorisch" beschrieben!

— VZN