Kann man mit dem Linial-Mansour-Nisan-Theorem und der Kenntnis des Fourier-Spektrums von ?

Ergebnis 1: Das Linial-Mansour-Nisan-Theorem besagt, dass das der von den Schaltkreisen berechneten Funktionen sich mit hoher Wahrscheinlichkeit auf die kleinen Teilmengen konzentriert. $\mathsf{AC}^0$

Ergebnis 2: Das konzentriert sich auf den des Grades . $\mathsf{PARITY}$ $n$

Frage: Gibt es eine Möglichkeit zu beweisen (falls nachweisbar), dass nicht mit Kreisen über / unter Verwendung der Ergebnisse 1 und 2 berechenbar ist ? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
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Ist das nicht eine offensichtliche Anwendung des Satzes von Linial-Mansour-Nisan? Wie der LMN-Satz bewiesen wird (insbesondere, ob er durch probabilistische Argumentation bewiesen wird oder nicht), ist unerheblich.

— Tsuyoshi Ito

Wird der Satz von Linial-Mansour-Nisan nicht gleichzeitig durch die Annahme des Satzes von Hastad bewiesen? Es sieht für mich aus wie ein Hund, der seinen eigenen Schwanz jagt ...

— Alessandro Cosentino

Auf diese Weise wird die untere Schranke der Größe einer AC0-Schaltung, die sich der Parität annähert, in den Notizen von Ryan O'Donnell abgeleitet . Siehe Folgerung 32.

— Sasho Nikolov

Ich denke, die interessantere Frage ist in Ihrem Kommentar: Ist jede Funktion, deren Fourierspektrum sich auf niedrige Koeffizienten konzentriert, die durch kleine AC0-Schaltungen berechnet werden können?

— Sasho Nikolov

@ Strattav Dann könnten Sie diese Frage stellen.

— Tyson Williams

Der LMN-Satz zeigt, dass, wenn f eine Boolesche Funktion durch eine -Schaltung der Größe M berechenbar ist , $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

ist nichts anderes als die Korrelation von f mit der Paritätsfunktion . Sei der Anteil der Eingaben, bei denen von abweicht. $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

Also, wenn M , für ist gleich , $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

$PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— Tulasi
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