Kombinatorische Einbettung eines Graphen


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Hier: http://www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf (in Kapitel Einbettungen) wird die Definition der kombinatorischen Einbettung eines planaren Graphen gegeben. (mit Definition von Flächen usw.) Obwohl es für jedes Diagramm leicht verwendet werden kann, definieren sie ein ebenes Diagramm als das Diagramm, für das die Euler-Formel gilt (vorausgesetzt, dass das Diagramm verbunden ist). Es ist ziemlich verständlich, dass für jedes ebene Diagramm die Definition von Flächen in der kombinatorischen Einbettung der Definition von Flächen in der topologischen Einbettung ähnlich ist. (Angenommen, der Graph ist verbunden. Andernfalls haben wir bei der kombinatorischen Einbettung eine unendliche Fläche für jede verbundene Komponente.)

Die Frage ist: Wenn für einen verbundenen Graphen die kombinatorische Einbettung die Euler-Formel erfüllt, bedeutet dies, dass dieser Graphen topologisch planar ist (er hat ebene Einbettung, dh er ist ebener Graph)?


Später in diesem Artikel geben sie eine Antwort, dass dies möglich ist. Aber kann jemand einige Links zum Beweis geben?
Finsky

Antworten:


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Hier geht es weniger um das eigentliche Diagramm als vielmehr um die Topologie. Eine kombinatorische Einbettung definiert eine 2-Mannigfaltigkeit, einen topologischen Raum, in dem jeder Punkt eine Nachbarschaft aufweist, die homöomorph zu einer zweidimensionalen offenen Scheibe ist: Durch die Einbettung kann eine Fläche definiert werden, und wir können einen topologischen Raum definieren, indem wir für jede Scheibe eine Scheibe auswählen stellen Sie gegenüber und kleben Sie sie zusammen entlang den Diagrammrändern. Ein bekanntes Theorem in der Topologie (als Klassifikation von 2-Mannigfaltigkeiten bezeichnet) sagt uns genau, welche 2-Mannigfaltigkeiten möglich sind, und sie unterscheiden sich alle dadurch, ob sie orientierbar sind oder ob sie die gleiche Euler-Charakteristik haben (oder beides) ) - siehe http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfFür einige vernünftige Vorlesungsnotizen zu diesem Thema, die den gewünschten Beweis enthalten. Es gibt keine anderen 2-Mannigfaltigkeiten in dieser Klassifizierung, die dieselbe Euler-Charakteristik wie die Kugel haben. Wenn Sie also die Euler-Charakteristik berechnen und feststellen, dass sie mit der Formel für eine Kugel übereinstimmt, wissen Sie, dass Ihre Einbettung auf einer Kugel erfolgen muss.

Das Finden einer Einbettung mit tatsächlichen geometrischen Koordinaten in der Ebene ist, sobald Sie eine planare kombinatorische Einbettung haben, nicht ganz trivial, sondern kann zB mit der Theorie der Schnyder-Hölzer erfolgen. Ich habe einige Vorlesungsunterlagen dazu unter http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ .


Vielen Dank für eine so ausführliche Antwort! Ich habe die erste Zeitung gelesen und es scheint, dass ich den Beweis verstanden habe. Aber ich habe noch eine Frage: Bedeutet das alles, dass wir, wenn wir Oberflächen definieren wollen, was immer wir wollen (ich meine eine willkürliche Teilmenge von Kanten, nicht wie beim kombinatorischen Einbetten mit der Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn und so weiter), alle so zusammenkleben, dass Leim ist nur beim Teilen von Kanten von 2 Oberflächen vorhanden. Definieren Sie resultierende 'Knoten' an den Endpunkten von Kanten als Scheitelpunkte UND wenn die Euler-Formel zutrifft, ist dies ein planares Diagramm.
Finsky

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Sie müssen aufpassen, dass Sie eine Vielzahl erhalten: Die Flächen der Einbettung sollten topologische Scheiben sein, Sie dürfen keine ungeklebten Kanten belassen, jede Kante sollte nur an eine andere Kante geklebt werden, und an jedem Scheitelpunkt sollte es nur solche geben ein Zyklus von Kanten und Flächen, die darum geklebt werden (nicht wie das, was Sie erhalten, wenn Sie zwei Kegel an ihren Spitzen zusammenkleben). Sie müssen entweder mit einem verbundenen Diagramm beginnen oder die Euler-Kennlinie für jede Komponente separat zählen. Aber wenn das alles wahr ist und die Formel von Euler gilt, dann ist es eben.
David Eppstein

Ja, ich habe diese Fälle vergessen, sicher, dass sie auch gelten müssen. Vielen Dank!
Finsky
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