Harte Probleme bei Grafiken höherer Gattungen

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Planare Graphen haben die Gattung Null. Auf einem Torus einbettbare Grafiken haben höchstens die Gattung 1. Meine Frage ist einfach:

Gibt es irgendwelche Probleme, die auf planaren Graphen polynomiell lösbar sind, auf Graphen der Gattung 1 jedoch NP-hart?
Gibt es allgemeiner irgendwelche Probleme, die auf Graphen der Gattung g polynomisch lösbar sind, auf Graphen der Gattung> g jedoch NP-hart sind?

— Shiva Kintali
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Für die zweite Frage möchten Sie, dass das Problem für Graphen der Gattung> = k NP-schwer ist, wobei k eine Konstante größer als g ist? ODER möchten Sie nur, dass das Problem für Diagramme, deren Gattung nicht kleiner als g ist, NP-hart ist (was für allgemeine Diagramme gleichbedeutend damit ist, dass es NP-hart ist)?

— Robin Kothari

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Ich suche NP-harte Probleme für Graphen der Gattung> = k, wobei k eine Konstante größer als g ist.

— Shiva Kintali

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Dies ist Werbung für meine eigene Arbeit, aber die Überschreitung von Zahl und 1-Planarität ist in ebenen Graphen trivial lösbar, für Graphen der Gattung 1 jedoch schwierig. Siehe http://arxiv.org/abs/1203.5944

— jemand
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Ein Graph ist nahezu planar, wenn er durch Hinzufügen einer Kante aus einem planaren Graphen erhalten werden kann. Ein Graph ist 1-planar, wenn er eine Zeichnung hat, bei der jede Kante von höchstens einer anderen Kante gekreuzt wird. Wir zeigen, dass es sich um NP handelt -schwer zu entscheiden, ob ein gegebener nahezu planarer Graph 1-planar ist. " Ich muss etwas vermissen. Warum ist nicht jeder plannahe Graph auch 1-planar?

— Tyson Williams

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Was Sie sagen, ist, dass Sie einfach eine planare Einbettung von

und die Kante wieder hinzufügen können. Diese zusätzliche Kante könnte jedoch mehr als eine Kante kreuzen und die 1-Planarität verletzen.

G - e

$G-e$

— Timothy Sun

@ TimothySun Ja. Jede andere Kante als

wird höchstens einmal gekreuzt (mit

), aber

kann von mehr als einer anderen Kante gekreuzt werden, was nicht zulässig ist. Vielen Dank.

e

$e$

e

$e$

e

$e$

— Tyson Williams

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Wenn Spielzeugprobleme in Ordnung sind:

Sei und sei ein Graph der Gattung . Für einer CNF-Formel, lassen einige Codierung sein als ebenes Diagramm zuzüglich einer disjunkten Kopie von . $g\in\mathbb{N}$ $H$ $g+1$ $\phi$ $G_\phi$ $\phi$ $H$

Bei gegebenem , das ein Graph der Gattung , ist es NP-schwer zu entscheiden, ob erfüllbar ist. Dieses Problem wird jedoch trivial, wenn es auf Graphen der Gattung . $G_\phi$ $g+1$ $\phi$ $\leq g$

— Radu Curticapean
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Was ist dieses Problem auf Graphen der Gattung

\leq g

$\leq g$

— Sasho Nikolov

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Alle Graphen

haben die Gattung

. Wenn Sie also das Problem auf Graphen der Gattung

, können Sie immer ablehnen.

G_{ϕ}

$G_\phi$

g + 1

$g+1$

g

$g$

— Radu Curticapean

ah, es wird wirklich trivial, ich

— verstehe

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$G$ $g$ $T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$ $m$ $G$

Cai, Lu und Xia haben kürzlich die folgende Zweiteilung bei #CSP-Zählproblemen bewiesen:

Wir beweisen Komplexitätsdichotomiesätze im Rahmen der Zählung von CSP-Problemen. Die lokalen Einschränkungsfunktionen verwenden Boolesche Eingaben und können beliebige symmetrische Funktionen mit reellen Werten sein. Wir beweisen, dass jedes Problem in dieser Klasse genau drei Kategorien zugeordnet werden kann:

(1) solche, die auf allgemeinen Graphen nachvollziehbar sind (dh die Polynomzeit berechenbar sind), oder
(2) solche, die auf allgemeinen Graphen nachvollziehbar sind, aber auf ebenen Graphen nachvollziehbar sind , oder
(3) solche, die sogar nachvollziehbar sind auf ebenen Graphen.

Die Klassifizierungskriterien sind explizit.

— Martin Schwarz
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Dies beantwortet die Frage nicht. Kann die Kategorie (2) in (2a) unterteilt werden, die für ebene Graphen, aber für toroidale Graphen # P-hart, und (2b) für Graphen der begrenzten Gattung, aber für Graphen der unbegrenzten Gattung # P-hart, traktierbar ist?

— Jeffs

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Fall (2) besteht aus Problemen, die durch Einführung lokaler planarer Minianwendungen auf das Zählen perfekter Übereinstimmungen in planaren Graphen reduziert werden können. Es ist auch bekannt, dass perfekte Übereinstimmungen in der Polynomzeit auf Graphen begrenzter Gattungen gezählt werden können. Somit sind alle Probleme in Fall (2) tatsächlich auf Graphen begrenzter Gattungen übertragbar.

— Radu Curticapean

2

$g$ $g$ $X_g$ $g$ $g$ $g$ $X_g$ $g$

$\mathcal C$ $\mathcal C$

— David Richerby
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