Genaue Anzahl der Vergleiche zur Berechnung des Medians

Band III von Knuth The Art of Computer Programming (Kapitel 5, Vers 3.2) enthält die folgende Tabelle die Auflistung genaue Mindestanzahl der Vergleiche erforderlich , um das wählen th kleinste Element aus einem unsortierten Satz von Größe , für all . Diese Tabelle, zusammen mit der bekannten geschlossener Form Ausdrücke und stellt die meisten des im Stand der Technik als 1976 . $t$ $n$ $1\le t \le n\le 10$ $V_1(n) = n-1$ $V_2(n) = n - 2 + \lceil n/2 \rceil$

Tabelle von Knuth III: 5.3.2

Irgendwelche weiteren genaue Werte der in den letzten 36 Jahren berechnet? Ich interessiere mich besonders für die genauen Werte von , der Mindestanzahl von Vergleichen, die zur Berechnung des Medians erforderlich sind. $V_t(n)$ $M(n) = V_{\lceil n/2 \rceil}(n)$

Wie @ MarkusBläser hervorhebt, scheint die Tabelle von Knuth bereits neuere Ergebnisse von Bill Gasarch, Wayne Kelly und Bill Pugh zu enthalten ( Finden des i-ten größten von n für kleine i, n . SIGACT News 27 (2): 88-96, 1996) .)

— Jeffε
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Das bekannteste Papier zu diesem Thema, denke ich, ist das von Pratt und Yao (1976), denen zugeschrieben wird, dass sie zu den Ersten gehören, die eine (konträre) Technik gefunden haben, um niedrigere Grenzen für dieses Problem zu belegen. Wenn ich aktuelle Artikel zu diesem Thema finden würde, würde ich Zitaten folgen, die zu diesem Artikel gemacht wurden . Das neueste Papier ist das von Dor und Zwick, aber es gibt auch eine Umfrage von 1996 von Paterson (obwohl ich nicht nachgesehen habe, ob es sich um genaue Ergebnisse handelt oder nicht).

— Jérémie

Nitpicking: Im letzten Satz der Frage haben Sie wahrscheinlich die Decke anstelle des Bodens gemeint.

— Tsuyoshi Ito

Jeff, neugierig, warum du an der genauen Antwort interessiert bist.

— Chandra Chekuri

Kenneth Oksanen hat einen effizienten Code für die Berechnung von

. Leider ist nur eine Zusammenfassung verfügbar. Sciencedirect.com/science/article/pii/S1571065306001582 Vor zwei Jahren hat ihm einer meiner Schüler eine E-Mail gesendet und den Code von ihm erhalten. Ich erinnere mich nicht, ob einige neue Werte erhalten werden konnten.

V_{i} (n)

$V_i(n)$

— Markus Bläser

@ChandraChekuri: Ich spiele mit Varianten des linearen Zeitauswahlalgorithmus von Blum-Floyd-Pratt-Rivest-Tarjan als potenzielles Problem bei den Hausaufgaben des Algorithmus. Wenn wir den Minimum-Vergleichsalgorithmus verwenden, um den Median in jedem Block zu finden, welche Blockgröße gibt uns dann die beste Konstante im Big-Oh? 9 ist besser als 7 ist besser als 5; was ist mit 11?

— Jeffs

$n=15$

Kenneth Oksanens Grenzen für die Auswahl

Danke an @ MarkusBläser für die Führung!

— Jeffε
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Ich frage mich, ob diese Information für Sie nützlich sein könnte. Leider liefert es keine zusätzlichen Informationen zur Frage dieses Beitrags, sondern ist eher eine Antwort auf Ihren Kommentar dazu, wozu dies gedacht war (Analysieren von Varianten von QuickSelect).

$v(n,t)$ $v_t(n)$

v_{t} (n) = n + Mindest (t, n - t) + Menge .

$v_t(n)=n+\min(t,n-t)+\text{l.o.t.}.$

Dieses Ergebnis wird nicht selten verwendet und ist insbesondere die Grundlage für die Algorithmen in "Adaptive Sampling for QuickSelect" von Martínez, Panario und Viola . Der Ausgangspunkt der Arbeit ist der QuickSelect-Median von drei, und dann zu fragen: Ist es sinnvoll, den Median systematisch auszuwählen, wenn das gesuchte Element einen relativen Rang hat, der viel niedriger als n / 2 oder viel höher als n / 2 ist? ?

$k$ $n$ $m$ $m/2$ $\alpha m$ $\alpha = k/n$ $m$

— Jérémie
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