Gibt es Beweise für die Existenz eines nicht konstruktiven Algorithmus?

Ich erinnere mich, dass ich möglicherweise auf Probleme gestoßen bin, die sich mit einer bestimmten Komplexität als lösbar erwiesen haben, aber mit keinem bekannten Algorithmus, um diese Komplexität tatsächlich zu erreichen.

Ich habe Mühe, mir Gedanken darüber zu machen, wie dies der Fall sein kann. wie ein nicht konstruktiver Beweis für die Existenz eines Algorithmus aussehen würde.

Gibt es tatsächlich solche Probleme? Haben sie viel praktischen Wert?

Betrachten Sie die Funktion (von hier genommen )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Trotz des Aussehens kann mit dem folgenden Argument berechnet werden. Entweder$f$

1. $0^n$ kommt für jedes oder vor$n$
2. Es gibt ein sodass auftritt, jedoch nicht.0 k 0 k + $k$$0^k$$0^{k+1}$

Wir wissen (noch) nicht, was es ist, aber wir wissen, dass mit$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. $f_\infty(n) = 1$ und
2. $f_k(n) = [n \leq k]$ .

Da , ist berechenbar - aber wir können nicht sagen, was ist. f $F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Dies ist vielleicht nicht genau das , was Sie meinen, aber der optimale Minimum-Spanning-Tree-Algorithmus von Seth Pettie und Vijaya Ramachandran ist in gewissem Sinne nicht konstruktiv.

Es ist eine offene Frage, ob es einen deterministischen Algorithmus gibt, um minimale Spannbäume in linearer (dh ) Zeit zu berechnen . Pettie und Ramachandran beschreiben einen Algorithmus, der MSTs in linearer Zeit berechnet, falls ein solcher Algorithmus existiert .$O(n+m)$

Intuitiv reduziert ihr Algorithmus jede Vertex-Instanz des MST-Problems auf O ( n / k ) kleinere Instanzen mit O ( k ) Vertices in linearer Zeit, wobei (sagen wir) k = O ( log log log log log log log n ) . Dann berechnen sie den optimalen Vergleichsbaum , der den minimalen Spannbaum jedes k- Vertex-Graphen durch Brute-Force-Aufzählung berechnet . Selbst wenn dies in k nur fünffach exponentielle Zeit in Anspruch nimmt, ist das nur $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$ Zeit. Schließlich lösen sie die kleinen Instanzen mit diesem optimalen Entscheidungsbaum.$O(\log\log n)$

Mit anderen Worten, Pettie und Ramachandran konstruieren einen optimalen MST-Algorithmus nur indirekt, indem sie einen Algorithmus konstruieren, der einen optimalen MST-Algorithmus konstruiert.

Hier sind zwei Beispiele.

1. Einige Algorithmen, die den Satz von Robertson-Seymour verwenden . Der Satz besagt, dass es für jeden Fall ein endliches Hindernis gibt, aber keinen Weg gibt, eine solche endliche Menge zu finden. Obwohl wir nachweisen können, dass der Algorithmus existiert, hängt die explizite Aussage des Algorithmus daher von dem endlichen Hindernissatz ab, den wir nicht finden können. Mit anderen Worten, wir wissen, dass es einen Algorithmus gibt, aber wir wissen (noch) nicht, wie wir einen finden können.

2. Ein stärkeres Beispiel, obwohl weniger natürlich, ist die Verwendung von PEM oder ähnlichen nicht-konstruktiven Axiomen. Dies ist insofern stärker, als wir nachweisen können, dass die konstruktive Existenz eines Algorithmus ein nichtkonstruktives Axiom implizieren würde (ähnlich wie bei Brouwers schwachen Gegenbeispielen ). Ein solches Beispiel ist stärker , weil es nicht nur sagt , dass wir nicht wissen , jetzt eine explizite Algorithmus (oder eine algorithmische Weise ein zu finden), sondern auch , dass es keine Hoffnung gibt , dies zu tun.

   Als Beispiel können wir PEM verwenden, um zu beweisen, dass ein Algorithmus existiert, während wir nicht wissen, welcher und ein konstruktiver Weg, einen zu finden, ein nicht konstruktives Axiom implizieren würde. Lassen Sie mich ein einfaches Beispiel geben:

   Das Problem des Anhaltens ist für jede feste Turing-Maschine trivial zu entscheiden (jede TM hält an oder hält nicht an, und in jedem Fall gibt es eine TM, die die richtige Antwort ausgibt), aber wie können wir einen Algorithmus finden, der das Problem richtig löst, ohne es zu lösen ( die einheitliche version von) das haltproblem?

   Genauer gesagt können wir nicht konstruktiv beweisen, dass es bei einem TM ein TM H T gibt , das das Halteproblem für M entscheidet . Formal kann die folgende Aussage nicht konstruktiv bewiesen werden:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Hier ist das TM mit dem Code e (in einer festen Darstellung von TMs), { e } ↓ bedeutet { e } hält an und { f } ↑ bedeutet, dass { f } nicht anhält.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Ja.

An einem Punkt in (1) beweisen der Dichotomiesatz des komplexgewichteten Zählgraphen für jede endliche Domänengröße, Cai, Chen und Lu, nur die Existenz einer Polynomzeitverringerung zwischen zwei Zählproblemen durch Polynominterpolation. Ich kenne keinen praktischen Wert für einen solchen Algorithmus.

Siehe Abschnitt 4 der arXiv-Version. Das fragliche Lemma ist Lemma 4.1, das als "Erstes feststeckendes Lemma" bezeichnet wird.

Eine Möglichkeit, diesen Beweis konstruktiv zu gestalten, besteht darin, die komplex gewichtete Version eines Ergebnisses von Lovasz zu beweisen :

Für all , Z H ( G , w , i ) = Z H ( G , W , j ) genau dann , wenn es eine automorphism existiert f von G , so daß f ( i ) = j .$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

Hier ein Scheitelpunkt in ist H , i und j sind Vertices in G und Z H ( G , w , i ) ist die Summe über alle komplexen gewichteten Graphen homomorphisms von G bis H mit der zusätzlichen Einschränkung , dass i zugeordnet werden müssen zu w .$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen und Pinyan Lu, Graphhomomorphismen mit komplexen Werten: Ein Dichotomiesatz ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Einige frühe Ergebnisse aus den späten 80ern:

• Fellows und Langston, " Nichtkonstruktive Werkzeuge zum Nachweis der Polynomzeitentscheidbarkeit ", 1988

• Brown, Fellows, Langston, " Polynom-Zeit-Selbstreduzierbarkeit: theoretische Motivationen und praktische Ergebnisse ", 1989

Aus der Zusammenfassung des zweiten Punktes:

Jüngste grundlegende Fortschritte in der Graphentheorie haben jedoch leistungsfähige neue nichtkonstruktive Werkzeuge zur Verfügung gestellt, mit denen die Zugehörigkeit zu P garantiert werden kann. Diese Werkzeuge sind auf zwei verschiedenen Ebenen nichtkonstruktiv: Sie produzieren weder den Entscheidungsalgorithmus noch stellen sie nur die Endlichkeit eines Hindernissatzes fest Sie enthüllen auch nicht, ob ein solcher Entscheidungsalgorithmus bei der Konstruktion einer Lösung hilfreich sein kann. Wir betrachten und veranschaulichen kurz die Verwendung dieser Werkzeuge und diskutieren die scheinbar schwierige Aufgabe, die versprochenen Algorithmen für die Polynomzeitentscheidung zu finden, wenn diese neuen Werkzeuge angewendet werden.

Ein Beispiel für eine unendliche Familie von Problemen (von fraglichem praktischem Wert), für die wir zeigen können:

1. Das für jedes Problem gibt es einen Algorithmus, um es zu lösen.
2. Dass es keine Möglichkeit gibt, diese Algorithmen (im Allgemeinen) zu konstruieren.

Mit anderen Worten, ein nachweislich nicht konstruktiver Beweis. Unsere Problemfamilie (aus dieser Frage ) für jede Turingmaschine :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Aus "Bidimensionalitätstheorie und Algorithmischer Graph Minor Theory Lecture Notes" für MohammadTaghi Hajiaghayis Tutorial, von Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura und Siamak Tazari.

Jede Eigenschaft mit geschlossenen Graphen kann durch eine endliche Menge verbotener Minderjähriger charakterisiert werden.

Leider ist ihr Ergebnis "inhärent" nicht konstruktiv, dh es gibt keinen Algorithmus, der im Allgemeinen bestimmen kann, welche Minderjährigen für eine gegebene Eigenschaft eines geringfügig geschlossenen Graphen ausgeschlossen werden sollen. Darüber hinaus kann die Anzahl der verbotenen Minderjährigen hoch sein: Beispielsweise sind für auf dem Torus eingebettete Grafiken mehr als 30.000 verbotene Minderjährige bekannt, die Liste ist jedoch unvollständig.

[...]

Jede Eigenschaft eines kleinen geschlossenen Graphen kann in Polynomzeit (auch in Kubikzeit) festgelegt werden.

Algorithmisches lokales Lemma von Lovász - "Das algorithmische lokale Lemma von Lovász bietet eine algorithmische Methode zum Konstruieren von Objekten, die einem System von Abhängigkeiten mit begrenzter Abhängigkeit gehorchen die schlechten Ereignisse zu vermeiden. " Unter bestimmten Voraussetzungen / Einschränkungen für die Verteilung wird von Moser / Tardos ein konstruierter Algorithmus angegeben [1]. Das lokale Lemma von Lovasz scheint verschiedene tiefe Verbindungen zur Komplexitätstheorie zu haben, siehe z. B. [2].

[1] Ein konstruktiver Beweis des General Lovász Local Lemma von Moser, Tardos

[2] Das lokale Lemma und die Zufriedenheit von Lov´asz Gebauer, Moser, Scheder, Welzl