Untergrenzen für Formeln mit konstanter Tiefe?

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Wir wissen viel über die Einschränkungen von Schaltungen mit konstanter Tiefe (Polynomgröße). Da (polynomische Größe) Formeln mit konstanter Tiefe ein noch eingeschränkteres Berechnungsmodell darstellen, können alle Probleme, von denen bekannt ist, dass sie nicht in AC ⁰ vorliegen, auch nicht mit einer Formel mit konstanter Tiefe berechnet werden. Da es sich jedoch um ein einfacheres Modell handelt, gibt es wahrscheinlich mehr Probleme, die in diesem Modell nicht berechenbar sind. Wurde das untersucht? (Ich vermute, es war so, aber ich verwende wahrscheinlich nicht die richtigen Suchbegriffe.)

Konkret interessiert mich folgende Frage: Gibt es eine Funktion f, die von einer AC ⁰ -Schaltung der Größe S berechnet werden kann , aber eine Konstanttiefenformel der Größe mindestens quadratisch in S oder Superpolynom in S benötigt? Was ist das bekannteste Ergebnis dieser Art?

Falls es nicht klar ist, was ich mit einer Konstantentiefenformel meine, meine ich eine Formel, die, wenn Sie als Baum schreiben (wobei interne Knoten UND / ODER / NICHT-Gatter sind und Blätter Eingaben sind), diesen Baum konstant hat Höhe. Entsprechend ist eine Konstanttiefenformel eine Konstanttiefenschaltung, in der alle nicht eingegebenen Gatter Fanout 1 haben.

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— Robin Kothari
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Es ist einfach, einen Schaltkreis mit konstanter Tiefe in eine Formel mit konstanter Tiefe gleicher Tiefe mit einer Zunahme der Polynomgröße umzuwandeln, indem Kopien von Gattern erstellt werden, die mehr als einmal verwendet werden. Wenn die Tiefe der Schaltung und ihre Größe , hat die Formel die Tiefe und die Größe . Daher lautet die Antwort nein. $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— Kaveh
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Dies ergibt mehr als eine quadratische Vergrößerung. (

— Allerdings

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Danke für die Antwort. Irgendeine Vorstellung von einer bestimmten Funktion f, die eine Schaltung mit konstanter Tiefe der Größe S hat, aber eine Formel der Größe S ^ 2 oder S ^ 10 usw. benötigt?

— Robin Kothari

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Ich denke, die Beziehung zwischen Tiefe und Schaltkreisgröße ist noch offen (Es ist bekannt, dass "Tiefe" Teta der Formelgröße ist). In den Kapiteln 7 und 8 des Wegener-Buches "Komplexität von Booleschen Funktionen" finden Sie einige Funktionen mit expliziten Untergrenzen für die Formelgröße. Es gibt einen mit fast quadratischem Anstieg (

), der nichts besseres bemerkt hat.

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

— Kaveh

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Diese Frage wurde (bis auf konstante Faktoren) durch ein aktuelles Ergebnis von Benjamin Rossman ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ) vollständig gelöst .

Wie oben Kaveh darlegt, eine Tiefe , die Größe kann die Schaltung bis zu einer Tiefe überführt werden , Größe Formel. $d$ $S$ $d$ $S^d$

Rossman zeigt, dass dies im Wesentlichen eng ist. Für jede Tiefe weist er eine Funktion auf, die durch eine Schaltung konstanter Tiefe mit der Tiefe und der Größe berechnet werden kann, jedoch durch eine beliebige Formel konstanter Tiefe (oder sogar a $d$ $d$ $S = O(n^3)$ -tiefe Formel) benötigtzur Berechnung dieGröße . $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

(Ich habe vergessen, das vorher zu sagen: Danke an Benjamin Rossman, der mich über dieses Ergebnis informiert hat.)

— Robin Kothari
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