Eine vereinfachte Version des Kartenspiels Winner

Ich habe dieses Problem in MathOverflow ohne zufriedenstellende Antwort gestellt.

Betrachten Sie das folgende Zwei-Spieler-Spiel, das eine Vereinfachung des Kartenspiels Winner darstellt . (Die folgende Formulierung stammt aus einem Kommentar von Guillaume Brunerie zu MathOverflow.)

Es gibt zwei Spieler A und B. Jeder Spieler hat einen Kartensatz (eine Teilmenge von ), der von beiden Spielern sichtbar ist. Das Ziel des Spiels ist es, seine eigenen Karten loszuwerden. Der erste Spieler spielt eine Karte auf dem Tisch aus, dann muss der andere Spieler eine (streng) größere Karte spielen usw., bis einer der Spieler nicht mehr spielen kann oder sich entscheidet zu passen. Dann werden die Karten auf dem Tisch abgelegt und der andere Spieler beginnt erneut mit dem Ausspielen einer beliebigen Karte (gefolgt von einer größeren Karte). Und so weiter, bis einem der beiden Spieler die Karten ausgehen und er das Spiel gewinnt. $\{1,\dots,n\}$

Ich möchte die beste Strategie für die Spieler kennen (wenn er gewinnen kann).

Formale Definition

Bezeichnen Sie mit die Konfiguration des Spiels, bei der der Kartensatz des ersten Spielers ist , der Kartensatz des zweiten Spielers ist und die größte Karte auf dem Tisch , wobei bedeutet, dass keine Karte auf dem Tisch liegt. Ich möchte, dass ein Algorithmus unter Berücksichtigung von berechnet, ob der erste Spieler eine Gewinnstrategie in Konfiguration . $w(i,A,B)$ $A$ $B$ $i$ $i=0$ $i,A,B$ $w(i,A,B)$

Formal möchte ich, dass ein Algorithmus die wie folgt definierte Funktion berechnet : $f$

Sei , . $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$ $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

Funktion $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

f (i, A, B) = {\begin{cases} F a l s e & B = \emptyset \\ T r u e & B \neq \emptyset \land \exists j \in A : j > i, f (j, B, A - {j}) = F a l s e \\ T r u e & B \neq \emptyset \land f (0, B, A) = F a l s e \\ F a l s e & otherwise \end{cases}

$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$

Falsche Strategien

Hier sind einige falsche Strategien:

$n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$ $w(0, A, B)$ $3$
$w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$ $1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

gt.game-theory card-games

— Yai0Phah
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Diese Frage ist interessant, aber bitte versuchen Sie, sie so lesbar wie möglich zu machen. Zum Beispiel müssen Sie den Kommentar von Guillaume Brunerie nicht wörtlich kopieren, einschließlich des Teils „Ich denke, es ist A, das dem Spieler bekannt sein sollte…“, der sich von der Annahme in Ihrer Frage unterscheidet und die Leser nur verwirren kann. Bitte denken Sie auch daran, die erste der drei Formulierungen zu entfernen: Die zweite Formulierung vermittelt ein intuitives Verständnis, die dritte eine formale Definition, und ich glaube nicht, dass die erste irgendeinen Zweck erfüllt.

— Tsuyoshi Ito

Möglicherweise ist der beste Weg, dies zu analysieren, ein Programm zu schreiben, das die optimalen Bewegungen für jede Position herausfindet und nach Mustern sucht. Es gibt keinen a priori Grund, warum dieses Spiel eine gute Strategie haben sollte.

— Peter Shor

Ich würde mit einer kleinen Anzahl von Karten für eine Strategie beginnen und von dort aus arbeiten. Wenn zum Beispiel jeder Spieler 2 Karten hat, gewinnt jeder Spieler mit der höchsten Karte, unabhängig davon, welcher Spieler die nächste Runde hat. Er spielt die höchste Karte, der andere Spieler muss passen, dann spielt er seine letzte Karte.

— Joe

Kann mir jemand helfen, die Beschreibung des GB neu zu beschreiben, um Postscript 1 zu folgen? Es tut mir leid, dass ich kein Muttersprachler bin und es nicht möglich ist, solch ein komplexes Spiel zu beschreiben.

— Yai0Phah

@ Tsuyoshi: Wenn Spieler A immer die kleinste Karte spielt, gewinnt Spieler B. Wenn Spieler A Karte 1 spielt und nicht immer die kleinste Karte spielt, kann Spieler A gewinnen. Dies bedeutet, dass es ein kleineres Gegenbeispiel zu Strategie 2 gibt, die immer gewinnt.

— Peter Shor

Dies sollte wahrscheinlich ein Kommentar sein, aber es ist zu lang.

$n$ $2n$ $1$ $\ldots$ $2n$

Sie bewiesen eine Reihe interessanter Fakten über die optimale Strategie, konnten jedoch keinen effizienten Algorithmus für ein optimales Spiel finden und auch nicht beweisen, dass es NP-schwer war.

Für das Misère- Spiel, bei dem jede Person versucht, die geringste Anzahl von Tricks auszuführen, konnte sie die optimale Strategie festlegen.

Zum größten Teil wurden diese Ergebnisse erhalten, indem zuerst die Ergebnisse eines Computerprogramms betrachtet wurden, das die optimale Strategie für kleine Instanzen gefunden hatte, dann nach Mustern gesucht wurde, um Vermutungen zu erhalten, und schließlich diese Vermutungen bewiesen wurden. Ich vermute, dass dies auch ein fruchtbarer Ansatz für das OP-Spiel wäre.

— Peter Shor
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