Asymptotische Komplexität der Sortierung mit k-Vergleichen

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Das Sortieren unter Verwendung von 2-Element-Vergleichen hat eine asymptotische Worst-Case-Komplexität von (erreicht durch Mergesort, Heapsort, binäre Einfügung, mindestens Ford-Johnson), was optimal ist. $n \log_2(n)$

Wenn wir mit Vergleichen sortieren, die k Elemente als Bausteine sortieren, ist die informationstheoretische Untergrenze . Wir können leicht mit k-ary Insertion erreichen. $n \log_{k!}(n)$ $n \log_k(n)$

Frage: Wo ist die optimale Komplexität zwischen und ? $n \log_k(n)$ $n \log_{k!}(n)$

Geeignete Refs wären ebenfalls willkommen.

Edit: weil es nicht klar war:

Ich interessiere mich für die Komplexität in mit . Es hat das asymptotische Verhalten von mit $n$ $k=O(1)$ $\alpha n\log_2(n)$ , und ich möchte mehr Genauigkeit über. $\alpha \in [\frac{1}{\log_2(k)},\frac{1}{\log_2(k!)}]$ $\alpha$

— slan_21
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3

Wie mir von Abhishek Methuku gesagt wurde, wurde dies bereits mehrmals untersucht, siehe z. B. http://www.researchgate.net/publication/3042594_Sorting_n_objects_with_a_k-sorter

Für groß liegt die Antwort nahe bei aber zB scheint offen zu sein. $k$ $n \log_{k!}(n)$ $k=3$

— domotorp
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2

Lassen Sie uns diese zunächst in die meiner Meinung nach richtige Form bringen.

$\Theta\left(n\cdot \log_k(n)\right) \: = \: \Theta\left(n\cdot \frac{\log_2(n)}{\log_2(k)}\right) \: = \: \Theta\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}{\log_2(k)}\right)$

und

$\Theta\left(n\cdot \log_{k!}(n)\right) \: = \: \Theta\left(n\cdot \frac{\log_2(n)}{\log_2(k!)}\right) \: = \: \Theta\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}{k\cdot \log_2(k)}\right)$

Beachten Sie, dass ein -ary-Vergleich für ausreicht $k$ $\: \left\lfloor \frac{k}2 \right\rfloor \:$ gleichzeitige (binäre) Vergleiche.

Zum $\: 2\leq k \:$ , $\:$ $\;\; \left\lfloor \frac{k}2 \right\rfloor \: \in \: \Theta(k) \;\;$ .

Durch das AKS-Netzwerk , z $\: 2\leq k\leq O(n) \:$ , $\:$ $O\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}k\right)$ $k$

Wann $\: n\leq k \:$ , $\:$ $1 \:\: k$ $\quad$ $1\in O\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}k\right)$

Daher für $\: 2\leq k \:$ , $\:$ $O\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}k\right)$ $k$

$5$ $k$ $\: \left(4\cdot \left\lfloor \frac{k}2 \right\rfloor \right)$ $\:$ Vergleich.

Zum $\: 4\leq k \:$ , $\:$ $5\:\:k$ $\: \left(\frac32 \cdot k\right)$ $\:$ Vergleich.

Zum $\: 2\leq k\leq n \:$ , $\:$ $\log_{\frac32}\left(\frac{n}k\right) = \frac{\log_2\left(\frac{n}k\right)}{\log_2\left(\frac32\right)} \:$ .

Zum $\: 2\leq k\leq n \:$ , $\:$ $5^{\left\lceil \frac{\log_2\left(\frac{n}k\right)}{\log_2\left(\frac32\right)} \right\rceil}$ $k$

Zum $\: 2\leq n \:$ , $\:$ $k$

Daher für $\: 2\leq k\leq n \:$ und $\: \frac{n}k \in O(1) \:$ , $\:$ $\Theta(1)$ $k$

Ich vermute, man könnte die zweite meiner beiden
Schlussfolgerungen verfeinern , um zu zeigen, dass Ihre Untergrenze erreicht ist.

n

$n$

k = O (1)

$k=O(1)$

α n l o g_{2} (n)

$\alpha nlog_2(n)$

α \in [\frac{1}{l o g_{2} (k)}, \frac{1}{l o g_{2} (k!)}]

$\alpha \in [\frac{1}{log_2(k)},\frac{1}{log_2(k!)}]$

α

$\alpha$

5^{\frac{\log_{2} (\frac{n}{k})}{\log_{2} (\frac{3}{2})}} = O ((\frac{n}{k})^{\frac{l o g_{2} (5)}{l o g 2 (\frac{3}{2})}})

$5^{\frac{\log_2\left(\frac{n}k\right)}{\log_2(\frac32)} } = O((\frac{n}{k})^{\frac{log_2(5)}{log2(\frac32)}})$

Ich wollte es so interpretieren, bevor mir klar wurde, dass, soweit ich finden kann,

$\hspace{1.2 in}$ Die optimale Konstante ist selbst für nicht bekannt

k = 2

$\: k = 2 \:$ .

$\;\;$

2

$2$

$\hspace{0.3 in}$ Ist die optimale Anzahl von binären Vergleichen geteilt durch

n \cdot \log_{2} (n)

$\: n\cdot \log_2(n) \:$

1

$1$

k = 2

$k=2$

n \log_{2} (n)

$n\log_2(n)$

\sum_{i = 2}^{n} ⌈ \log_{2} (i) ⌉ \sim n \log_{2} (n)

$\sum_{i=2}^{n} \lceil{\log_2(i)}\rceil \sim n\log_2(n)$