Unterscheidung zwischen

Gegeben ist ein Quantenzustand , der gleichmäßig zufällig aus einer Menge von gemischten Zuständen , wie hoch ist die maximale durchschnittliche Wahrscheinlichkeit, korrekt zu identifizieren ? $\rho_A$ $N$ $\rho_1 ... \rho_N$ $A$

Dieses Problem kann in ein Zwei-Zustands-Unterscheidbarkeitsproblem umgewandelt werden, indem das Problem der Unterscheidung von von $\rho_A$ . $\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Ich weiß, dass das Problem für zwei Quantenzustände eine gute Lösung in Bezug auf den Spurenabstand zwischen den Zuständen hat, wenn Sie die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit minimieren und nicht die durchschnittliche Fehlerwahrscheinlichkeit minimieren, und ich hatte gehofft, dass es etwas Ähnliches geben könnte dieser Fall. Es ist natürlich möglich, die Wahrscheinlichkeit in Form einer Optimierung über POVMs zu schreiben, aber ich hoffe auf etwas, bei dem die Optimierung bereits durchgeführt wurde.

Ich weiß, dass es eine große Literatur zur Unterscheidbarkeit von Quantenzuständen gibt, und ich habe in den letzten Tagen viele Artikel gelesen, um die Antwort auf diese Frage zu finden, aber ich habe Probleme, die Antwort darauf zu finden besondere Variation des Problems. Ich hoffe, dass jemand, der diese Literatur besser kennt, mir Zeit sparen kann.

Genau genommen brauche ich nicht die genaue Wahrscheinlichkeit, eine gute Obergrenze würde reichen. Der Unterschied zwischen einem Zustand und dem maximal gemischten Zustand ist jedoch ziemlich gering, so dass die Grenze in dieser Grenze nützlich sein müsste.

— Joe Fitzsimons
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Da die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Antwort der Maximalwert eines semidefiniten Programms ist, ist es oft nützlich, das Dual zu berücksichtigen, um eine Obergrenze zu erhalten.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: In der Tat, aber ich habe vermutet, dass dieses Problem gut untersucht wurde und dass es möglicherweise ein Ergebnis in Dosen gibt.

— Joe Fitzsimons

Wissen Sie, ob die analogen Fragen für klassische Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine gute Antwort haben? Das von Ihnen erwähnte Ergebnis "Trace Distance" ist eine Verallgemeinerung der Verwendung von "Statistical Distance" (auch als "Total Variation Distance" bezeichnet) für klassische Verteilungen. [Im klassischen Fall besteht die natürliche Strategie darin, die Verteilung auszuwählen, die am wahrscheinlichsten einen bestimmten Output erzeugt hat. Sie können eine geschlossene Form für ihre Erfolgswahrscheinlichkeit aufschreiben, obwohl ich nicht weiß, ob sie in Form einer einfachen Größe (wie dem durchschnittlichen Abstand zwischen den Verteilungen) ausgedrückt werden kann.]

— Adam Smith

@AdamSmith: Es scheint klassisch, dass Sie jede Verteilung einfach nach ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit gewichten und dann diejenige auswählen können, die am wahrscheinlichsten das beobachtete Ergebnis liefert.

— Joe Fitzsimons

Wie Sie bereits erwähnt haben, ist es möglich, die optimale durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit numerisch zu bestimmen, was effizient über semidefinite Programmierung erfolgen kann (siehe z. B. dieses Papier von Eldar, Megretski und Verghese oder diese Vorlesungsunterlagen von John Watrous), aber es gibt keinen Ausdruck in geschlossener Form bekannt.

Es gibt jedoch mehrere bekannte Ober- und Untergrenzen für die Fehlerwahrscheinlichkeit (dh 1 minus der durchschnittlichen Erfolgswahrscheinlichkeit). In Bezug auf paarweise Wiedergabetreue ist bekannt, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit in Ihrer Einstellung durch niedriger begrenzt ist $\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$ $\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$ $N=2$

— Ashley Montanaro
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Super, danke Ashley. Die Untergrenze der Fehlerwahrscheinlichkeit in Bezug auf die Spurentfernung ist ziemlich genau das, wonach ich gesucht habe. Wenn ich keine gute Antwort bekommen hätte, würde mein Backup-Plan darin bestehen, Ihnen eine E-Mail zu senden, da ich weiß, dass Sie an diesem Zeug gearbeitet haben.

— Joe Fitzsimons

Gibt es Grenzen, die gut funktionieren, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit nahe bei 1 liegt? Die Spurentfernung scheint bei 1/2 maximal zu sein. Ich versuche gerade die Wiedergabetreue, aber ich glaube nicht, dass ich die Wiedergabetreue in dem Problem, an dem ich arbeite, tatsächlich berechnen kann, und die von Ihnen angegebenen Grenzen scheinen sehr empfindlich für additive Fehler zu sein.

— Joe Fitzsimons

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