Erzeugen von Graphen des Umfangs

Sei . Ich muss einfache Graphen G des Umfangs g erzeugen, so dass die Menge aller g- Zyklen eine doppelte Kantenabdeckung von G bildet ( dh jede Kante wird von genau zwei g- Zyklen geteilt), und so, dass der Schnittpunkt von zwei beliebigen g- Zyklen sind entweder ein Scheitelpunkt, eine Kante oder leer. Die generierten Grafiken sollten beliebig groß sein.$g\geq 3$$G$$g$$g$$G$$g$$g$

Die Methode der Erzeugung sollte eine gewisse Zufälligkeit haben, aber nicht in einem trivialen Sinne. Ich möchte in der Lage sein, ziemlich komplizierte Grafiken zu erhalten. Stellen Sie sich zum Beispiel ein rechteckiges Gitter in der Ebene vor. Wenn wir die gegenüberliegenden Seiten des Begrenzungsrechtecks ​​identifizieren, erhalten wir ein Diagramm, das alle oben genannten Anforderungen für g = 4 erfüllt . Ich würde dieses Diagramm als einfach qualifizieren.$n\times m$$g=4$

Gibt es eine solche Methode?

Hinweise auf ähnliche Probleme sind ebenfalls willkommen.

Meine halbherzige Idee war etwas zu ehrgeizig. Ich füge es unten als Referenz hinzu, aber die von mir angegebene Abstandsbedingung reicht nicht aus, um einen großen Umfang zu gewährleisten.

Es gibt beliebig große hochsymmetrische Oberflächenkarten mit großem Umfang, aber veröffentlichte Existenzbeweise basieren größtenteils auf Gruppentheorie und nicht auf Topologie oder Geometrie an sich.

$g$$d$$r$$1/g + 1/d < 1/2$$g$$d$$r$$r$groß genug in dieser Konstruktion garantiert, dass der Umfang des Graphen . Siehe zum Beispiel:$g$

• Roman Nedela und Martin Škoviera. Regelmäßige Karten auf Flächen mit großer ebener Breite. European J. Combinatorics 22 (2): 243 & ndash; 262, 2001.

• Jozef Širáň. Dreiecksgruppendarstellungen und Konstruktionen regulärer Karten. Proc. London Math. Soc. 82 (3): 513 & ndash; 532, 2001.

Sobald Sie eine solche Oberflächenkarte haben, können größere Karten mit demselben Umfang und Grad durch Erstellen von Abdeckungsräumen erstellt werden.

Hier ist eine (halbgebackene) Möglichkeit, solche Diagramme zu erstellen. Sei ein ebener Graph mit den folgenden Eigenschaften:$G$

• Jede begrenzte Fläche von hat genau g Kanten.$G$$g$

• Die Außenseite von hat eine gerade Anzahl von Kanten; nennen diese die Begrenzungskanten von G . (Diese Bedingung gilt automatisch, wenn g gerade ist. Wenn g ungerade ist, muss G eine gerade Anzahl von begrenzten Flächen haben.)$G$$G$$g$$g$$G$

• Es ist möglich, die Grenzkanten von zu paaren , so dass der Abstand in G von jeder Grenzkante zu ihrem Partner mindestens g beträgt . Dieser Zustand ist eigentlich nicht genug; Der genaue Zustand, der hier benötigt wird, ist unklar.$G$$G$$g$

$g$

$G'$$g$$G$$G$$G'$$G'$$g$

$G$$d$$d$$g$$1/d + 1/g < 1/2$