Antwort: nicht bekannt.
Die gestellten Fragen sind natürlich, offen und anscheinend schwierig. die frage ist jetzt ein community wiki.
Überblick
Die Frage versucht, Sprachen der Komplexitätsklasse - zusammen mit den Entscheidungs-Turing-Maschinen (TMs), die diese Sprachen akzeptieren - in zwei komplementäre Unterklassen zu unterteilen:
- gnostische Sprachen und TMs (die validiert / verstanden werden können), versus
- kryptische Sprachen und TMs (die nicht validiert / verstanden werden können).
Definitionen: gnostische vs kryptische Nummern, TMs und Sprachen
Innerhalb der Axiom-Frameworks PA und ZFC unterscheiden wir gnostische von kryptischen Turing-Maschinen und -Sprachen wie folgt:
D0 Wir sagen , dass eine berechenbare reelle Zahl ist Gnostischen iff es zu einer nicht-leeren Menge von TMs zugeordnet ist, wobei jeder TM in PA als eine expliziten Liste von Zahlen angegeben , umfassend gültigen Code auf einem Universal TM, so dass für jede Genauigkeit wird als Eingabe geliefert, und jedes TM wird nachweislich (in ZFC) mit einer Ausgabenummer angehalten, die nachweislich (in ZFC) erfüllt .
Bemerkung Es ist bekannt, dass einige berechenbare Reelle nicht gnostisch sind (siehe Raphael Reitzigs Antwort auf die Frage von jkff " Gibt es Beweise für die Existenz eines nicht konstruktiven Algorithmus? "). Um die Auseinandersetzung mit diesen berechenbaren und dennoch umständlichen Zahlen zu vermeiden, wird die Einschränkung auferlegt, dass Laufzeitexponenten von TMs berechnet werden können, die in PA explizit aufgelistet sind (im Gegensatz zu TMs, die implizit in ZFC angegeben sind). Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt Definitionsüberlegungen (unten).
Wir suchen nun nach Definitionen, die die Intuition erfassen, dass die Komplexitätsklasse eine Teilmenge von kryptischen Sprachen enthält, denen nachweislich kein (gnostischer) Laufzeitexponent mit Untergrenze zugeordnet werden kann.
Die abschließende Definition ( D5 ) spezifiziert die Idee einer kanonisch kryptischen Entscheidung TM , deren Definition darauf abzielt, Reduktionen zu vermeiden, die kryptische Berechnungen (trivial) maskieren, indem sie rechnerisch überflüssige epi-Berechnungen überlagern. Die Gründe und Quellen dieser Schlüsseldefinition werden später - unter der Überschrift Definitionsaspekte - erörtert, und die Beiträge von Kommentaren von Timothy Chow, Peter Shor, Sasho Nikolov und Luca Trevisan werden dankbar zur Kenntnis genommen.
D1 Bei einer Turing-Maschine M, die für alle eingegebenen Zeichenfolgen anhält, wird M als kryptisch bezeichnet, wenn die folgende Aussage für mindestens eine gnostische reelle Zahl weder beweisbar noch widerlegbar ist :
Aussage: Die Laufzeit von M ist in Bezug auf die Eingabelänge
Wir sagen, dass Turing-Maschinen, die nicht kryptisch sind, gnostische TMs sind.
D2 Wir sagen, dass eine Entscheidungsmaschine M effizient ist, wenn sie einen gnostischen Laufzeitexponenten so dass die Sprache L, die M akzeptiert, von keinem anderen TM mit einem gnostischen Laufzeitexponenten kleiner als akzeptiert wird .
D3 Wir sagen, dass eine Sprache L kryptisch ist, wenn sie von (a) mindestens einer Turing-Maschine M akzeptiert wird, die sowohl effizient als auch kryptisch ist, und außerdem (b) keine TM, die sowohl effizient als auch gnostisch ist, L nachweislich akzeptiert.
Um D3 anders auszudrücken , eine Sprache ist kryptisch, wenn die TMs, die diese Sprache am effizientesten akzeptieren, selbst kryptisch sind.
Wir sagen, dass Sprachen, die nicht kryptisch sind, gnostische Sprachen sind.
D4 Wir sagen, dass ein kryptisches TM stark kryptisch ist, wenn die von ihm akzeptierte Sprache kryptisch ist.
D5 Wir sagen, dass ein stark kryptisches TM kanonisch kryptisch ist, wenn es effizient ist.
Um D5 anders auszudrücken , wird jede kryptische Sprache von einem Satz kanonisch kryptischer Entscheidungs-TMs akzeptiert, die die effizientesten Entscheidungs-TMs sind, die diese Sprache akzeptieren.
Die gestellten Fragen
Die folgende Vermutung C0 ist natürlich und (anscheinend) offen:
C0 Die Komplexitätsklasse P enthält mindestens eine kryptische Sprache.
Drei Fragen werden gestellt, Q1 - Q3 , von denen die erste ist:
Q1 Ist die C0- Vermutung unabhängig von PA oder ZFC?
Unter der Annahme, dass C0 wahr ist - entweder nachweislich in ZFC oder als unabhängiges Axiom, das ZFC ergänzt - sind zwei weitere Fragen naheliegend:
F2 Kann mindestens eine kryptische Sprache in P konkret dargestellt werden, dh als Wörterbuch expliziter Wörter in einem endlichen Alphabet, das alle Wörter bis zu einer bestimmten Länge enthält? Wenn ja, legen Sie ein solches Wörterbuch vor.
F3 Kann mindestens eine kanonisch kryptische Entscheidung TM konkret dargestellt werden, dh als eine Beschreibung für den Bau einer physischen Turing-Maschine, die (in polynomialer Zeit) alle Wörter des Wörterbuchs von Q2 entscheidet ? Wenn ja, konstruieren Sie eine solche Turing-Maschine und stellen Sie das kryptische Sprachwörterbuch von Q2 zur Verfügung, indem Sie damit rechnen .
Definitionsüberlegungen
Definition D0 impliziert, dass jede gnostische reelle Zahl berechenbar ist, aber es ist bekannt, dass einige berechenbare reelle Zahlen nicht gnostisch sind. Beispiele finden Sie in den Antworten auf MathOverflow von Michaël Cadilhac und Ryan Williams sowie auf TCS StackExchange von Raphael Reitzig . Die Definitionen D0 – D5 wurden allgemeiner formuliert , um Verweise auf nicht-gnostische Laufzeitexponenten auszuschließen.
Wie im TCS-Wiki " Enthält P unverständliche Sprachen? " Erläutert , stellen die Definitionen D0 – D5 sicher, dass jede kryptische Sprache von mindestens einem kanonisch kryptischen TM akzeptiert wird. (Beachten Sie auch, dass in der vorliegenden Frage das Wort "kryptisch" das weniger beschreibende Wort "unverständlich" ersetzt, das im Wiki verwendet wird).
Darüber hinaus gibt es - im Hinblick auf D3 (a) und D3 (b) - keine rechnerisch triviale Reduktion eines kanonisch kryptischen TM auf ein gnostisches TM, das dieselbe Sprache nachweislich erkennt. Insbesondere D3 (a) und D3 (b) die behindern polylimiter Bekämpfungsstrategien , die in den Kommentaren von skizziert wurden Peter Shor und von Sasho Nikolov und unabhängig von Luca Trevisan und behindert auch die polynomial getaktet Reduktionsstrategie von Timothy Chow , alle von denen kryptische Berechnungen auf ähnliche Weise maskiert werden, indem eine rechnerisch überflüssige epi-Berechnung überlagert wird .
Im Allgemeinen werden die Definitionen von "gnostisch" und "kryptisch" absichtlich so abgestimmt, dass sie in Bezug auf mathematisch triviale Reduktionen robust sind (und es ist durchaus möglich, dass eine weitere Abstimmung dieser Definitionen wünschenswert sein kann).
Methodologische Überlegungen
Lance Fortnows Aufsatz " Der Status des P versus NP-Problems " untersucht Methoden zur Feststellung der Unabhängigkeit (oder auf andere Weise) von Vermutungen in der Komplexitätstheorie. Besonders erwünscht sind Vorschläge, wie die Methoden, die Lance überprüft, helfen könnten (oder nicht), um Q1 zu beantworten .
Es ist klar, dass viele weitere Fragen selbstverständlich sind. Die Hartmanis-Stearns-Vermutung inspiriert uns beispielsweise zu der Frage: "Gibt es kryptische Echtzeit-Multitape-Turing-Maschinen? Ist ihre Existenz (oder nicht) unabhängig von PA oder ZFC?"
Überlegungen vom Zeilberger-Typ
Für den Fall, dass Q1 mit "Ja" beantwortet wird, gibt es außerhalb von PA oder ZFC Orakel, die über die Zugehörigkeit zu entscheiden. Daher ist (derzeit) nicht bekannt, dass sich ein wesentliches Element der modernen Komplexitätstheorie in irgendeinem formalen System von befindet Logik.
In dieser Hinsicht unterscheidet sich die Komplexitätstheorie von den meisten mathematischen Disziplinen, so dass die Befürchtungen, die Doron Zeilberger in seiner jüngsten " Stellungnahme 125: Jetzt, da Alan Turing 100 Jahre alt geworden ist, es Zeit ist, einen neuen Blick auf seine grundlegenden Beiträge zu werfen , das hat viel Gutes getan, aber auch viel Schaden "sind wohl begründet.
Zeilbergers Bedenken nehmen explizite Form als Kriterium Z0 (! Q1 ) && (! C0 ) an, was dem folgenden Kriterium entspricht:
Z0: Zeilbergers Sensibilitätskriterium Definitionen der Komplexitätsklasse P heißen Zeilbergersensibel, wenn alle Sprachen in P nachweislich gnostisch sind.
Derzeit ist nicht bekannt, ob Stephen Cooks Definition der Komplexitätsklasse P nach Zeilberger sinnvoll ist.
Motivierende Überlegungen
Die Definitionen von "gnostisch" und "kryptisch" werden mit Blick auf (eventuell) entscheidende Vermutungen wie die folgenden formuliert:
C1 Sei und N P ' sind die gnostischen Einschränkungen von P und N P resp. Dann ist P ' ≠ N P ' in PA oder ZFC entweder nachweisbar oder widerlegbar.
C2 (wie explizit in PA oder ZFC nachgewiesen)
Klarerweise C2 C1 , und umgekehrt ist es denkbar, dass ein Beweis des (Meta-) Theorems C1 Hinweise auf einen Beweis des (stärkeren) Theorems C2 liefert .
Die allgemeine Motivation ist die Erwartung / Intuition / Hoffnung, dass für eine gut abgestimmte Unterscheidung zwischen gnostischen und kryptischen TMs und Sprachen ein Beweis von C1 und möglicherweise sogar C2 einen vermutlich weitaus härteren und tieferen Sachverhalt beleuchten und sogar vergleichbare praktische Auswirkungen haben könnte Beweis dafür , dass .
Juris Hartmanis gehörte zu den ersten Komplexitätstheoretikern, die diese Forschungsrichtung ernsthaft verfolgten. siehe zum Beispiel Hartmanis 'Monographie Machbare Berechnungen und beweisbare Komplexitätseigenschaften (1978).
Nomenklaturüberlegungen
Aus dem Oxford English Dictionary (OED) haben wir:
gnostisch (adj) In Bezug auf Wissen; kognitiv; intellektuell "Sie [die Zahlen] existieren in vitaler, gnostischer und spekulativer, aber nicht in operativer Weise."
kryptisch (adj) Nicht sofort verständlich; mysteriös, rätselhaft "Anstelle von einfachen Regeln, die für die Menschheit nützlich sind, schieben sie [Philosophen] verdorbene und dunkle Sätze vor."
Anscheinend hat bisher keine mathematische Übersicht das Wort "gnostisch" in irgendeiner Weise verwendet. Es wird jedoch auf Marcus Krachts jüngsten Artikel „ Gnosis “ ( Journal of Philosophical Logic , MR2802332) verwiesen, in dem der OED-Sinn verwendet wird.
Anscheinend hat keine mathematische Übersicht das Wort "kryptisch" - in seinem technischen Sinne - in Bezug auf die Komplexitätstheorie verwendet. Es wird jedoch auf Charles H. Bennetts Artikel " Logical Depth and Physical Complexity " ( 1988, The Universal Turing Machine: A Half-Century Survey ) verwiesen , der die Passage enthält
Eine andere Art von Komplexität, die mit einem Objekt verbunden ist, wäre die Schwierigkeit, angesichts des Objekts eine plausible Hypothese zu finden, um es zu erklären. Objekte mit dieser Komplexität können als "kryptisch" bezeichnet werden : Einen plausiblen Ursprung für das Objekt zu finden, ist wie das Lösen eines Kryptogramms.
Überlegungen zur Natürlichkeit, Offenheit und Schwierigkeit
Die Natürlichkeit dieser Fragen verdeutlicht die These von Juris Hartmanis 'Monographie Machbare Berechnungen und Beweisbare Komplexitätseigenschaften (1978), dass:
"Ergebnisse über die Komplexität von Algorithmen ändern sich radikal, wenn wir nur Eigenschaften von Berechnungen betrachten, die formal bewiesen werden können."
Die Offenheit und Schwierigkeit dieser Fragen stimmen im Großen und Ganzen mit der Schlussfolgerung von Lance Fortnows Übersichtsartikel " The Status of the P Versus NP Problem " (2009) überein, dass:
"Keiner von uns versteht das P-gegen-NP-Problem wirklich, wir haben erst begonnen, die Schichten um diese immer komplexer werdende Frage zu schälen."
Wiki Anleitung
Besonders gefragt sind Definitionsanpassungen und Beweisstrategien, die sich speziell auf die Fragen Q1 – Q3 beziehen und die Hartmanis-Typ-Vermutungen C1 – C2 breit beleuchten .