Ein Dual eines Graphen finden

Nach dem Buch Topological Graph Theory von Gross und Tucker wird bei einer zellulären Einbettung eines Graphen auf einer Oberfläche (mit 'Oberfläche' meine ich hier eine Kugel mit einigen Griffen, und unter bezieht sich auf die Kugel mit genau Griffe) kann ein dualer Multigraph definiert werden, indem die Flächen des ursprünglichen Diagramms, die eingebettet sind, als Scheitelpunkte behandelt werden und eine Kante zwischen zwei Scheitelpunkten für jede Seite hinzugefügt wird, die die entsprechenden Flächen im ursprünglichen Diagramm gemeinsam haben.$n\geq 0$$S_n$$n$

Hier ist mein Problem . Wenn ein Graph , muss ich einen anderen Graphen so dass es eine Oberfläche und eine zelluläre Einbettung von auf so dass das Dual dieser Einbettung von . Ich weiß, dass es viele mögliche Graphen ; Ich muss nur für jeden Graphen .G ' S G S G ' G G '$G$$G'$$S$$G$$S$$G'$$G$$G'$$G$

Ich habe mehrere Fragen . Meine derzeitige Strategie besteht darin, (1) die Gattung von bestimmen , (2) eine Einbettung von in finden und (3) das Dual dieser Einbettung zu finden. Alle diese Schritte haben bekannte Algorithmen (obwohl (1) NP-hart ist). Ich frage mich, ob es einen Weg gibt, ein zu finden das die Berechnung der Gattung umgeht, da dies der Engpass dieses Ansatzes ist, und das ist meine erste Frage. Meine zweite Frage lautet: Wenn ich weiß, dass regulär ist, kann das die Berechnung der Gattung erleichtern? Und meine dritte Frage ist eine Anfrage nach Referenzen, die mir bei der Lösung dieses Problems helfen können.G G S n G '$n$$G$$G$$S_n$$G'$$G$

Muss Ihr Dual von minimaler Gattung sein? Da es trivial ist, eine zellulare Einbettung für einen beliebigen Graphen zu finden: Wählen Sie einfach eine kreisförmige Reihenfolge für die Kanten, die auf jeden Scheitelpunkt fallen, und bestimmen Sie dann die Flächen der Einbettung als die Folgen von Kanten, die mit den ausgewählten Ordnungen übereinstimmen.

Ich mag die GEM-Darstellung (graph-encoded map) einer Einbettung aus dem Buch Foundations of Topological Graph Theory von Bennington und Little. In dieser Darstellung wird eine Einbettung durch ein 3-Kanten-farbiges 3-reguläres Diagramm mit einem Scheitelpunkt für jedes Flag der Einbettung (ein einfallendes Tripel aus Scheitelpunkt, Kante und Fläche) und einer Kante für jeweils zwei Flags dargestellt, die sich unterscheiden Nur eines der Elemente der Scheitelpunkt- / Kanten- / Flächenmengen, die sie darstellen. Zum Beispiel kann das Bild unten aus Wikipedia als GEM eines regulären Dodekaeders interpretiert werden, in dem die roten Zyklen seine Gesichter darstellen, die gelben Zyklen seine Kanten darstellen und die blauen Zyklen seine Eckpunkte darstellen; Die Kanten können entsprechend den Farben ihrer beiden einfallenden Flächen gefärbt werden.

Bei einer kreisförmigen Anordnung der Kanten eines Graphen G kann sein GEM gefunden werden, indem ein Zyklus von 2d Scheitelpunkten für jeden Scheitelpunkt von Grad d von G erstellt wird, zwei für jede Kante, wobei die Scheitelpunktpaare für jede einfallende Kante in der Zyklus in der gewählten kreisförmigen Reihenfolge und dann für jede Kante e von G die beiden Paare von GEM-Kanten für die beiden Endpunkte von e zu einem Rechteck verbinden. Wenn Sie eine orientierte Einbettung wünschen, sollte die Auswahl, wie diese vier Eckpunkte zu einem Rechteck verknüpft werden sollen, mit den kreisförmigen Ordnungen übereinstimmen, andernfalls kann sie beliebig sein.

Dann werden die Eckpunkte, Kanten und Flächen der Einbettung von G durch Zyklen im GEM dargestellt, die zwischen zwei der drei Kantenfarben wechseln. Das Dual von G wird durch ein GEM mit demselben zugrunde liegenden 3-regulären Graphen dargestellt, wobei jedoch zwei seiner Kantenfarben vertauscht sind. Der durch ein GEM dargestellte Graph kann gebildet werden, indem alle seine Scheitelpunktzyklen zusammengezogen und Paare paralleler Kanten zu einzelnen Kanten zusammengeführt werden. Das Konstruieren eines Duals von G (solange es Ihnen egal ist, welches Dual) kann also leicht in linearer Zeit durchgeführt werden.