Schwerste Optimierungsprobleme in NC

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Wenn wir Optimierungsprobleme lernen, betrachten wir normalerweise die lineare Programmierung (oder allgemeiner: die konvexe Optimierung) als das einfachste Beispiel. Es ist in Polynomzeit lösbar und hat relativ leicht verständliche Algorithmen. Die Entscheidungsversion von LP ist jedoch -vollständig. Dies legt nahe, dass dies eines der schwierigsten Probleme ist, die wir in der Polynomzeit lösen können. $\mathsf{P}$

Unter der Annahme, dass . Was ist die "schwierigste" natürliche Art von Optimierungsproblemen mit Entscheidungsproblemen in ? $\mathsf{NC} \neq \mathsf{P}$ $\mathsf{NC}$

Wenn dies zu vage ist, können wir uns auf Einschränkungen beschränken. Was sind die minimalen Einschränkungen, die wir für lineare Programme (oder allgemeiner: konvexe Programme) festlegen müssen, damit das mit den eingeschränkten Programmen verbundene Entscheidungsproblem in lösbar ist ? $\mathsf{NC}$

Motivation

Dies ist zu einem großen Teil müßige Neugier. Es wurde jedoch von Cosma Shalizis " In der Sowjetunion löst Optimierungsproblem Sie " verursacht. Insbesondere wenn es zu schwierig ist, LP zu lösen, um eine zentralisierte Wirtschaft zu haben (dh die Optimierung in zu viel), muss jedes dezentrale System eine Art Parallelverarbeitung schneller als die (für mich) : ). $\mathsf{P}$ $\mathsf{NC}$

cc.complexity-theory optimization linear-programming

— Artem Kaznatcheev
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Da NC eine Hierarchie ist, ist es unwahrscheinlich, dass Sie ein "schwierigstes" Problem in NC finden (genauer gesagt: NC hat keine vollständigen Probleme, es sei denn, die NC-Hierarchie bricht zusammen). In ähnlicher Weise gibt es wahrscheinlich keine "universellen" Mindestbeschränkungen für LP, um sie in NC zu integrieren, obwohl dies schwieriger auszuschließen scheint, selbst wenn dies von natürlichen Annahmen abhängig ist. (Dies soll nicht von der Frage ablenken - ich mag die Frage, und es hat offensichtlich einige interessante Antworten hervorgebracht - nur eine Bemerkung.)

— Joshua Grochow

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Kennen Sie die Arbeit an positiven LPs / SDPs? Es gibt eine Reihe von Ergebnissen in diesem Bereich, meist im Sinne von "Wenn die Einschränkungen des LP / SDP positiv sind, kann das Problem in NC gelöst werden."

Einige wichtige Referenzen in dieser Arbeit sind Luby-Nisan 93 und Jain-Yao 11 . Eine weitere hervorragende Ressource ist diese Folie aus Rahul Jains Vortrag auf der Konferenz "Recent Progress in Quantum Algorithms" am IQC. Der gesamte Vortrag ist auf youtube verfügbar.

— Robin Kothari
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Genauer gesagt sind Positive Linear Programming und Positive Semidefinite Programming Optimierungsprobleme, die nicht nur in Polynomzeit genau lösbar sind ( in ), sondern auch zulassen . Sie sind nicht genau in ( in ) sei denn, .

P O

$\mathsf{PO}$

N C

$\mathsf{NC}$

N C

$\mathsf{NC}$

N C O

$\mathsf{NCO}$

P = N C

$\mathsf{P} = \mathsf{NC}$

— Argentpepper

@argentpepper Wo ist der Hinweis, dass positives SDP und LP vollständig sind?

P

$P$

— T ....

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Ich bin mir nicht sicher, aber Sie interessieren sich vielleicht - wenn nicht, bitte um Verzeihung - für das folgende Papier , das sich nicht auf eine natürliche Art von Optimierungsproblem bezieht, sondern sich mit einem Problem befasst, das auf ein bestimmtes Optimierungsproblem reduziert werden kann , dessen Lösung in NC ist.

Igor Averbakh, Oded Berman, "Parallele NC-Algorithmen für Multifacility-Standortprobleme bei der gegenseitigen Kommunikation und deren Anwendungen", Networks, Band 40, Ausgabe 1, Seiten 1–12, August 2002, Wiley

DOI: 10.1002 / net.10027

Abstrakt

Das untersuchte generische Problem besteht darin, p unterscheidbare Einrichtungen auf einem Baum zu lokalisieren, um die Obergrenzenbeschränkungen für Abstände zwischen Paaren von Einrichtungen zu erfüllen, da sich jede Einrichtung in ihrer eigenen realisierbaren Region befinden muss, die als Teilbaum des Baums definiert ist. Wir präsentieren ein Parallel Location Schema (PLS) zur Lösung des Problems, das als NC-Algorithmus implementiert werden kann. Wir führen auch parallele NC-Algorithmen basierend auf dem PLS für die Minimax-Versionen des Problems ein, einschließlich des p-Center-Problems mit eingeschränkter Entfernung und gegenseitiger Kommunikation. In Kombination mit dem PLS und der verbesserten parametrischen Megiddo-Technik entwickeln wir stark polynomielle serielle Algorithmen für die Minimax-Probleme. Die Algorithmen weisen die derzeit besten in der Literatur verfügbaren Komplexitäten auf.

— Massimo Cafaro
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