Büchi-Automaten mit Abnahmestrategie

Das Problem

Lasse ein Büchi - Automaten, eine Spracherkennungs . Wir nehmen an, dass eine Akzeptanzstrategie im folgenden Sinne hat: Es gibt eine Funktion $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ der Läufe von können . Wir formalisieren dies unter folgenden Bedingungen: $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
für alle und , $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
für alle akzeptiert der von gesteuerte Lauf , dh die Folge unendlich viele Elemente in . $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

Um die Bedingungen zusammenzufassen, kann jedes Wort seiner Sprache akzeptieren, ohne etwas über die Zukunft erraten zu müssen. $A$

Trifft es dann unter diesen Annahmen für , dass nur durch Entfernen von Übergängen bestimmt werden kann? Mit anderen Worten, können wir den nächsten Übergang immer nur in Abhängigkeit vom aktuellen Status und Buchstaben auswählen? Gibt es einen Hinweis zu diesem Thema? Dieselbe Frage kann dann für Co-Büchi-Automaten und allgemeiner für Paritätsautomaten gestellt werden. $A$ $A$

Was bekannt ist

Hier sind einige Teilergebnisse.

Erstens können wir auf nicht deterministische Auswahlen zwischen Zuständen mit demselben Residuum beschränken. In der Tat, wenn die von akzeptierte Sprache ist , kann eine Akzeptanzstrategie nicht irgendwann vor wählen , wenn . $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

Beachten Sie, dass die verbleibenden Entscheidungen von Bedeutung sind. Trotz der Intuition reicht dies nicht aus, um den Nicht-Determinismus loszuwerden. Dies liegt daran, dass es möglich ist, ad infinitum in einem guten Residuum zu bleiben (dh der Rest des Wortes befindet sich im Residuum), das Wort jedoch abzulehnen, da nicht unendlich viele Büchi-Zustände gesehen werden. Dies ist die Hauptschwierigkeit des Problems: Ein unendlicher Lauf kann falsch sein, ohne dass irgendwann ein schwerwiegender Fehler gemacht wird.

Zweitens ist das Problem gelöst, wenn , dh alle Wörter werden von akzeptiert . In diesem Fall können wir als Büchi-Spiel betrachten, bei dem Spieler I die eingegebenen Buchstaben und Spieler II die Übergänge auswählt. Dann können wir die Positionsbestimmung von Büchi-Spielen verwenden, um eine Positionsstrategie für Spieler II zu extrahieren. Dieses Argument funktioniert sogar im allgemeineren Fall von Paritätsautomaten. Die Schwierigkeit dieses Problems ergibt sich aus der Tatsache, dass einige Wörter nicht in , und in diesem Fall die Strategie $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$ ein beliebiges Verhalten haben kann.

Drittens ist hier ein Beweis, dass unter den Annahmen die Sprache in der Klasse der deterministischen Büchi-Sprachen liegt, die von einem Automaten mit den Zuständen . Beachten Sie, dass dies impliziert, dass keine reguläre Sprache sein kann, zum Beispiel wenn , keine Strategie $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$ die den Bedingungen entspricht.

Zunächst beschränken wir die Übergänge gemäß der ersten Bemerkung: Die einzigen Entscheidungen, die wir treffen können, wirken sich nicht auf die Restsprache aus. Wir nehmen nur Nachfolger mit dem maximalen Residuum, sie müssen existieren, weil $\sigma$ existiert.

Dann bauen wir in der folgenden Weise. ist die Teilmenge von , aber jedes Mal, wenn ein Büchi-Zustand in der Komponente erscheint, können alle anderen Zustände aus der Komponente entfernt werden, und wir beginnen erneut mit dem Singleton . Dann können wir $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ . Wir können bestätigen, dass ein deterministischer Büchi-Automat für . $A'$ $L$

Schließlich können wir durch Zusammenfassen der zweiten und dritten Bemerkung immer eine endliche Gedächtnisstrategie , indem wir eine Positionsstrategie für Spieler II in dem Spiel in dem Spieler I Buchstaben auswählt, und Spieler II Übergänge in auswählt und gewinnt, wenn akzeptiert, wann immer akzeptiert. $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— Denis
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Schreiben Sie

für den (deterministischen) Automaten mit entfernten Übergängen. Lassen Sie

ein Wort in seinem

. Dann ist

ein Lauf von

und akzeptiert, also

. Umgekehrt ist jeder Akzeptanzlauf von

insbesondere ein Akzeptanzlauf von

, also

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$ .

— Sylvain

@Sylvain: Which transitions are removed?

— Dave Clarke

I'm assuming you call

A_{σ}

$A_\sigma$ the automaton

A

$A$ restricted to transitions used in the strategy

σ

$\sigma$ . The problem is you don't have any guarantee that

A_{σ}

$A_\sigma$ is deterministic. For instance assume

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$ and

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$ , then

A_{σ}

$A_\sigma$ is not deterministic.

— Denis

Ich poste es auch auf mathOverflow, mit mehr Details zur vorherigen Arbeit hier: mathoverflow.net/questions/97007/… , ist es in Ordnung ?

— Denis

Crossposting ist grundsätzlich nicht erlaubt, es sei denn, man hat nach einer ausreichenden Zeit keine Antwort erhalten. Angesichts der Tatsache, dass diese Frage offen ist, würde ich ein paar Tage warten. Sie können den anderen Beitrag löschen und in ein paar Tagen öffnen. (Auch der andere Beitrag sollte auf diesen verweisen.)

— Dave Clarke

It turns out the answer is no, some counter-examples can be found in this paper.

— Denis
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thx for update, but vague! what team? did they publish? plan to? how did you hear? how did they find it? is there a reason they were looking for it? is this a theoretical curiosity or connected to some bigger problem or application? etc

— vzn

see this answer for more details: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Denis

As you pointed out, non-deterministic and deterministic Buchi automata accept different languages. The most famous 'determinization' for a Buchi automaton is given by Safra (search "Safra's construction" on web. Here's one document that comes up: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf). The procedure is quite intricate and involves transforming given Buchi automaton into a deterministic Rabin automaton (having 'accepting' F states and 'rejecting' G states: \sigma has only finitely many states in G). Safra's construction involves much more than simply removing transitions and/or usual subset construction.

— Sudeep
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I know this, the question is about a special class of Büchi automata, namely the one that admit acceptance strategies

σ

$\sigma$ . I already showed that this class has same power than the class of deterministic Büchi automata, and I described a simplified determinization procedure (in the "what is known" section). The conjecture is that there is a much simpler determinization procedure for this class, which consists just in removing some transitions.

— Denis