Universelle Torsätze für SU (3)?

In der Quantenverarbeitung sind wir häufig an Fällen interessiert, in denen eine Gruppe von speziellen Einheitsoperatoren G für ein d-dimensionales System entweder die gesamte Gruppe SU (d) genau oder nur eine Näherung liefert, die durch eine dichte Abdeckung von SU (d) gegeben ist.

Eine Gruppe endlicher Ordnung wie die Clifford-Gruppe für ein d-dimensionales System C (d) ergibt keine dichte Abdeckung. Eine Gruppe unendlicher Ordnung bietet keine dichte Deckung, wenn die Gruppe Abelianer ist. Meine grobe Intuition ist jedoch, dass eine unendliche Anzahl von Toren und Basiswechseloperationen der Clifford-Gruppe ausreichen sollte, um eine dichte Abdeckung bereitzustellen.

Formal ist meine Frage:

Ich habe eine Gruppe G, die eine Untergruppe von SU (d) ist. G hat eine unendliche Ordnung und C (d) ist eine Untergruppe von G. Bieten alle diese G eine dichte Bedeckung von SU (d).

Beachten Sie, dass mich der Fall besonders interessiert, wenn d> 2 ist.

Ich gehe davon aus, dass die Clifford-Gruppe hier definiert ist: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

Dies ist keine vollständige Antwort, aber vielleicht trägt sie zur Beantwortung der Frage bei.

Da eine unendliche Ordnung hat, jedoch nicht, enthält notwendigerweise ein Nicht-Clifford-Gruppen-Gate. Jedoch hat als eine Untergruppe. Aber für die Clifford-Gruppe plus jedes andere Tor, das nicht zur Clifford-Gruppe gehört, ungefähr universell (siehe z. B. Satz 1 hier ). Daher decken alle diese dicht ab .C ( d ) G G C ( d ) d = 2 G S U ( 2 n$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

Für den Fall, dass , scheint es möglich zu sein, zu beweisen, dass Sie immer noch eine dichte Deckung haben (unter Verwendung der Notation des Papiers, auf das in der Frage verwiesen wird):$d>2$

1. Da alle Gatter in einheitlich sind, sind alle ihre Eigenwerte Wurzeln der Einheit, die ich der Einfachheit halber durch reelle Winkel parametrisieren werde .0 ≤ θ i < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. Wie hat unendliche um entweder enthält Gates , für die mindestens eine Wert eine irrationale Vielfaches von ist oder enthält eine beliebig gute Annäherung an eine solche irrationale Vielfaches von . Bezeichnen wir ein solches Tor .G θ k π π $G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. Dann gibt es ein so dass der Identität willkürlich nahe kommt, aber nicht gleich ist.g $n$$g^n$
4. Da einheitlich ist, kann es als . exp ( - i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. Da die in quant-ph / 9802007 definierte Pauli-Gruppe eine Basis für Matrizen bildet, können Sie , wobei und für jedes (durch [3]) mit mindestens einem solchen ungleich Null.H = ∑ d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d α j k ∈ C | α j k | ≤ ϵ ϵ > 0 α a $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. Wir können dann ein Element aus der Clifford-Gruppe auswählen, das auf unter Konjugation . Also , wobei nur eine Permutation von und .X j d Z k d Z d C g n C † = exp ( - i C H C † ) = exp ( - i ( α a b Z d + Σ ( j , k ) ≠ ( a , b ) α ' j k X j d Z k d ) ) $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$ Α α a b = α ' $\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. Man beachte , dass erfüllt . Definieren wir .Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d g l = Z - l d C g n C † Z l d = exp ( - i ( α ein b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. Nach dem Baker-Cambel-Hausdorff-Theorem können wir das Produkt von g ' = g 1 × bewerten , da alle willkürlich nahe an die Identität gebracht wurden . . . × g d zur ersten Ordnung als . Summiert man alle Wege der Einheit, so ergibt sich für . Dies ist im Grunde eine Entkopplungssequenz das entkoppelt die nicht-diagonalen Elemente.$\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. Da nur diagonale Matrizen im Exponential bleiben muss diagonal sein. Aufgrund der Restriktionen für es außerdem notwendigerweise Eigenwerte, die nicht Null sind, aber proportional zu .$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. Durch Variieren von ; und Wiederholen des obigen Prozesses sollte es möglich sein, linear unabhängige Gatter zu erzeugen : , so dass ihr Produkt ein diagonales Gatter mit irrationalen und inkommensuraten Phasen oder einer willkürlich engen Annäherung ergibt zu einem.$\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. Nach dem in Mark Howards Antwort gegebenen Hinweis sollte dies zusammen mit der Clifford-Gruppe für eine ungefähre Allgemeingültigkeit ausreichen.

Ich glaube, die Antwort auf die ursprüngliche Frage lautet wahrscheinlich Ja, aber das kann ich leider nicht definitiv sagen. Ich kann jedoch helfen, Peters erweiterte Frage zu beantworten.

In math / 0001038 von Nebe, Rains und Sloane zeigen sie, dass die Clifford-Gruppe eine maximale endliche Untergruppe von U (2 ^ n) ist. Solovay hat dies auch in unveröffentlichten Arbeiten gezeigt, die "im Wesentlichen die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen verwenden". Das Patent von Nebe et al. Papier zeigt auch, dass die qudit-Clifford-Gruppe eine maximale endliche Untergruppe für Primzahl p ist, auch unter Verwendung der Klassifikation endlicher Gruppen. Dies bedeutet, dass die Clifford-Gruppe plus jedes Tor eine unendliche Gruppe ist, was eine der Annahmen der ursprünglichen Frage überflüssig macht.

Nun sagten mir sowohl Rains als auch Solovay, dass der nächste Schritt, der zeigt, dass eine unendliche Gruppe, die die Clifford-Gruppe enthält, universell ist, relativ einfach ist. Ich weiß jedoch nicht, wie dieser Schritt tatsächlich funktioniert. Und was noch wichtiger ist für die ursprüngliche Frage, ich weiß nicht, ob sie nur den Qubit-Fall oder auch den Qubit-Fall in Betracht zogen.

Eigentlich könnte ich hinzufügen, dass ich die Beweise von Nebe, Rains und Sloane auch nicht verstehe, aber gerne möchte.

Mir ist nicht klar, ob Sie nach SU (3) oder SU (3 n ) fragen, die auf ein Tensorprodukt von Qudits einwirken. Ich nehme an, Sie fragen nach SU (3). Es ist mir nicht klar (trotz dessen, was ich in einer früheren Version meiner Antwort gesagt habe), dass die Aussage für SU (3) die Aussage für SU (3 n ) impliziert .$^{n}$$^n$

Solange die Anzahl der Tore nicht in einer Untergruppe von SU (3) liegt, wird eine dichte Abdeckung von SU (3) erzeugt. Sie müssen also überprüfen, ob eine der unendlichen Untergruppen von SU (3) die Clifford-Gruppe enthält. Ich bin mir ziemlich sicher, dass sie das nicht tun, aber ich kann nicht sicher sagen. Hier ist eine mathematische Überlauffrage, die alle Lie-Untergruppen von SU (3) enthält.

Ich dachte, ich sollte diesen Thread aktualisieren, bevor die Website für immer eingefroren ist.

Daniels Antwort ist richtig. Dieser "nächste Schritt", den er erwähnt, erscheint in Nebe, Rains und Sloanes späterem Buch " Self-Dual Codes and Invariant Theory ".

Die Antwort auf diese Frage lautet daher "Ja" - und sie folgt direkt aus Korollar 6.8.2 in Nebe, Rains und Sloanes Buch.

Ich bin Vadym Kliuchnikov dankbar, der mich darauf aufmerksam gemacht hat, als ich Waterloo besuchte.

Ich denke, dass das folgende Papier die relevanten Konstruktionen für den Nachweis der Gleichwertigkeit enthalten kann

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

Insbesondere besagt der Kommentar am Ende von Abschnitt , dass die gesteuerte Phase C Z , die Fouriertransformation F und ein Diagonalgatter D mit irrationalen und inkommensuraten Phasen eine ungefähre Universalität ergeben. (Dies ist eine ausreichende Bedingung für D, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass dies keine notwendige Bedingung ist.)$4$$CZ$$F$$D$$D$

Wenn Ihr die richtige Form hat (und diagonale Gatter als natürliche Wahl erscheinen), gilt das Ergebnis$G$

Ein alternativer Ansatz wäre die Erstellung der Ancilla-Zustände, die für die Implementierung des qudit Toffoli erforderlich sind, oder die direkte Verwendung von zusammen mit Cliffords zur Implementierung des Toffoli. Es ist schwer zu sagen, ob dies möglich ist, ohne mehr über G zu wissen .$G$$G$