Ich werde kommentieren, warum eine Beziehung wie in der Frage
(für jedes n ) hilft beim Factoring. Ich kann das Argument nicht ganz beenden, aber vielleicht kann es jemand.
(2n)!=∑k=0m−1akbckk
n
Die erste Beobachtung ist, dass eine Beziehung wie oben (und allgemeiner die Existenz von Polygrößen-Arithmetikschaltungen für ) Eine Polygrößen-Schaltung zum Berechnen von ( 2 n ) ergibt ! mod x für x in binärer Form: Berechnen Sie einfach die Summe modulo x unter Verwendung der Potenzierung durch wiederholtes Quadrieren.(2n)!(2n)!modxxx
Nun, wenn wir berechnen könnten ! mod x für willkürliches y könnten wir x faktorisieren: Finden Sie mit der binären Suche das kleinste y, so dass gcd ( x , y ! ) ≠ 1 (das wir mit gcd ( x , ( y ! mod x ) ) berechnen können ). Dann muss y der kleinste Primteiler von x sein .y!modxyxygcd(x,y!)≠1gcd(x,(y!modx))yx
Wenn wir nur Potenzen von für y machen können , können wir trotzdem versuchen, gcd ( x , ( 2 n ) ! ) Für jedes n ≤ log x zu berechnen . Einer von diesen wird ein nichttrivialer Teiler von x sein , mit Ausnahme des unglücklichen Falles, wenn es ein n gibt, so dass x gleichbedeutend mit ( 2 n ) ist ! und dividiert ( 2 n + 1 ) ! . Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass x2ygcd(x,(2n)!)n≤logxxnx(2n)!(2n+1)!xist quadratfrei und alle Primfaktoren haben die gleiche Bitlänge. Ich weiß nicht, was ich in diesem (ziemlich wichtigen, vgl. Blum-Ganzzahlen) Fall tun soll.