Bei der Betrachtung von Interaktionen in Netzwerken ist es normalerweise sehr schwierig, die Dynamik analytisch zu berechnen , und es werden Näherungen verwendet. Mittelfeldnäherungen ignorieren normalerweise die Netzwerkstruktur vollständig und sind daher selten eine gute Annäherung. Eine beliebte Näherung ist die Paarnäherung, bei der die Korrelationen zwischen benachbarten Knoten berücksichtigt werden (intuitiv können wir sie als eine Art Mittelfeldnäherung an Kanten betrachten).
Die Annäherung ist genau, wenn wir Cayley-Graphen betrachten, und sehr gut, wenn wir reguläre Zufallsgraphen betrachten. In der Praxis liefert es auch gute Annäherungen für Fälle, in denen wir einen Zufallsgraphen mit einem durchschnittlichen Grad k und einer engen Gradverteilung um k haben . Leider sind viele der Netzwerke und Interaktionen, die von Interesse sind, durch diese Art von Diagrammen nicht gut modelliert. Sie werden normalerweise durch Diagramme mit sehr unterschiedlichen Gradverteilungen (wie z. B. skalierungsfreien Netzwerken) mit bestimmten (und hohen) Clusterkoeffizienten oder bestimmten durchschnittlichen Entfernungen auf kürzestem Weg gut modelliert (weitere Informationen finden Sie unter Albert & Barabasi 2001 ). .
Gibt es Verfeinerungen der Paarannäherung, die für diese Arten von Netzwerken gut funktionieren? Oder gibt es andere analytische Näherungen?
Ein Beispiel für Interaktionen in Netzwerken
Ich dachte, ich würde ein Beispiel dafür geben, was ich unter Interaktionen in Netzwerken verstehe. Ich werde ein relativ allgemeines Beispiel aus der evolutionären Spieltheorie aufnehmen.
Sie können sich jeden Knoten als einen Agenten vorstellen (normalerweise nur durch eine Strategie dargestellt), der paarweise ein festes Spiel paarweise mit dem anderen Agenten spielt, für den er einen Vorteil hat. Somit erzeugt ein gegebenes Netzwerk mit einer gewissen Zuordnung der Strategie zu jedem Knoten eine Auszahlung für jeden Knoten. Wir verwenden diese Auszahlungen und die Netzwerkstruktur dann, um die Verteilung der Strategien unter den Knoten für die nächste Iteration zu bestimmen (ein häufiges Beispiel könnte sein, dass jeder Agent den Nachbarn mit der höchsten Auszahlung oder eine probabilistische Variante davon kopiert). Die Fragen, die uns normalerweise interessieren, entsprechen der Kenntnis der Anzahl der Agenten jeder Strategie und wie sich diese im Laufe der Zeit ändern. Oft haben wir eine stabile Verteilung (die wir dann wissen oder annähern wollen) oder manchmal Grenzzyklen oder sogar exotischere Bestien.
Wenn wir für diese Art von Modell eine Mittelfeldnäherung durchführen, verwenden wir die Replikatorgleichung als unsere Dynamik, die die Netzwerkstruktur offensichtlich ignoriert und nur für vollständige Diagramme genau ist. Wenn wir die Paarannäherung verwenden (wie Ohtsuki & Nowak 2006 ), erhalten wir eine geringfügig andere Dynamik (es handelt sich tatsächlich um eine Replikatordynamik mit einer modifizierten Auszahlungsmatrix, wobei die Modifikation vom Grad des Diagramms und den Besonderheiten des Aktualisierungsschritts abhängt). Dies passt gut zur Simulation für zufällige Graphen, jedoch nicht für andere interessierende Netzwerke.
Für ein physikalischeres Beispiel: Ersetzen Sie die Agenten durch Drehungen und nennen Sie die Auszahlungsmatrix einen Interaktions-Hamilton-Operator. Kühlen Sie dann Ihr System ab, während Sie periodische Zufallsmessungen durchführen.
Notizen und verwandte Fragen
Unkomplizierte Verallgemeinerungen der Paarnäherung der Art, die eine Art Mittelfeldnäherung an Dreifach- oder Vierfachknoten berücksichtigen, sind unhandlich und berücksichtigen immer noch keine sehr unterschiedlichen Gradverteilungen oder durchschnittlichen Entfernungen auf kürzestem Weg.