Quantenberechnung - Postulate des QM

11

Ich habe gerade angefangen, (unabhängig) etwas über Quantenberechnung im Allgemeinen aus dem Nielsen-Chuang-Buch zu lernen.

Ich wollte fragen, ob jemand versuchen könnte, Zeit zu finden, um mir zu helfen, was mit dem Messpostulat der Quantenmechanik los ist. Ich meine, ich versuche nicht, das Postulat in Frage zu stellen; Es ist nur so, dass ich nicht verstehe, wie der Wert des Zustands des Systems nach der Messung ergibt . $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

Obwohl es genau das ist, was das Postulat zu sagen scheint, finde ich es wirklich unangenehm, warum es dieser Ausdruck ist. Ich weiß nicht, ob das, was ich hier frage, Sinn macht, aber dies erweist sich als etwas, das mich aus irgendeinem Grund daran zu hindern scheint, weiterzulesen.

quantum-computing quantum-information

— Akash Kumar
quelle

1

Der Ausdruck, den Sie geschrieben haben,

ist überhaupt kein Zustand. Ich denke du wolltest ein

hinzufügen

danach?

M_{m} / \sqrt{< ψ | M_{m}^{+} M_{m} | ψ >}

$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

| ψ >

$|\psi>$

— Robin Kothari

Ja, das ist richtig. Ich wollte ein

hinzufügen

danach

| ψ >

$|\psi>$

— Akash Kumar

7

Bitte bearbeiten Sie Ihre Frage, wenn Sie Fehler bemerken.

— Jukka Suomela

7

Ich weiß nicht, ob dies eine "Erklärung" ist, aber hoffentlich ist es eine nützliche "Beschreibung".

Allgemeiner als projektive Messungen misst man immer einen Bediener . (Ein Projektor ist ein Sonderfall.) Was bedeutet es also, "einen Bediener zu messen"?

Nun, Operatoren entsprechen oft "beobachtbaren" physikalischen Größen. Das wichtigste in der Quantenmechanik ist zum Beispiel Energie; man kann aber auch (manchmal indirekt) andere Größen messen, wie Drehimpuls, z- Komponenten von Magnetfeldern usw. Was gemessen wird, liefert immer realwertige Ergebnisse - im Prinzip ein bestimmtes Ergebnis (z. B. ein Elektron) im Zustand 'Spin +1/2' im Gegensatz zu 'Spin −1/2' oder im ersten angeregten Energieniveau im Gegensatz zum Grundzustand in einem Wasserstoffatom usw.), wenn auch jeweils a priori mögliches Ergebnis wird mit einiger Wahrscheinlichkeit realisiert.

Wir ordnen jedes der real bewerteten Ergebnisse einer Messung einem Unterraum zu. Die Art und Weise, wie wir dies tun, besteht darin, einen hermitianischen Operator zu beschreiben - dh einen Operator, der verschiedenen Teilräumen einen realen Eigenwert zuordnet, wobei sich die Teilräume zu dem gesamten Hilbert-Raum summieren. Ein Projektor ist ein solcher Operator, bei dem die realen Werte 0 und 1 sind. dh beschreiben, dass ein Vektor zu einem bestimmten Unterraum gehört (was einen Wert von 1 ergibt) oder zu seiner Orthokomplementierung (was einen Wert von 0 ergibt). Diese hermitianischen Operatoren sind Observable , und die Eigenräume sind diejenigen, für die das Observable einen "bestimmten" Wert hat.

Aber was ist mit den Vektoren, die keine Eigenvektoren sind und keine "bestimmten" Werte für diese Observablen haben? Hier ist der nicht erklärende Teil der Beschreibung: Wir projizieren sie in einen der Eigenräume, um einen Eigenvektor mit einem genau definierten Wert zu erhalten. Welche Projektion wir anwenden, wird zufällig bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich aus der bekannten Born-Regel:

\underset{| ψ ⟩}{Pr} (E = c) = ⟨ ψ | Π_{c} | ψ ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$

Dabei ist der Projektor auf den c- Raum einer 'beobachtbaren Größe' E (dargestellt durch einen hermitischen Operator $\Pi_c$ ). Der nachgemessene Zustand isteineProjektion des Zustands aufeinigenEigenraum der beobachtbarenA. Und wenn ist die Vormessung Zustand ist die post-Meßzustand und ist die ‚tatsächliche Ergebnis‘ gemessen(dhder Eigenraumauf den der Vormessung Zustand tatsächlich projiziert wurde), haben wir die Proportionalität Ergebnis $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$ $|\psi\rangle$ $| \psi_0 \rangle$ $| \psi_1 \rangle$ $\Pi_c$

| ψ_{1} ⟩ \propto Π_{c} | ψ_{0} ⟩

$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$

durch die gerade beschriebene Projektionsregel. Aus diesem Grund befindet sich der Projektor in Ihrer Formel.

Im Allgemeinen ist der Vektor ist nicht ein Einheitsvektor; Da wir den Zustand nach der Messung durch einen anderen Einheitsvektor beschreiben möchten, müssen wir ihn um neu skalieren $| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

‖ | ψ_{1}^{'} ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ ψ_{1}^{'} | ψ_{1}^{'} ⟩} = \sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩},

$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$

Dies ist die Quadratwurzel der Wahrscheinlichkeit, mit der das Ergebnis a priori auftreten würde . Und so stellen wir die Formel in Ihrer Frage wieder her:

| ψ_{1} ⟩ = \frac{Π_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$

(Wenn diese Formel etwas ungeschickt erscheint, nehmen Sie sich vor Augen, dass sie ein bisschen besser aussieht und sich ein bisschen besser anfühlt, wenn Sie Quantenzustände durch Dichteoperatoren darstellen.)

Bearbeitet, um hinzuzufügen: Das Obige sollte nicht als Beschreibung von POVMs ausgelegt werden. Ein „positiv operatorwertige measurement“ ist besser als Beschreibung des gesehenen Erwartungswertes der verschiedenen meßbaren Observablen E _c in einer Sammlung { E _c } _{c ∈ C} .

— Niel de Beaudrap
quelle

6

Ich werde noch eine Antwort auf Akash Kumars Frage geben, die besagt, dass (insbesondere für Studenten) ein guter Ansatz zur Auseinandersetzung mit den Geheimnissen der Quantenmechanik darin besteht, sich zunächst mit den Geheimnissen der klassischen Mechanik auseinanderzusetzen.

In dieser Hinsicht ist Stephanie Frank Singers "Symmetrie in der Mechanik: eine sanfte moderne Einführung" ein empfohlenes Lehrbuch (das als Taschenbuch erhältlich ist), das den Vorteil hat, kurz und klar zu sein (einschließlich 120 explizit bearbeiteter Probleme) und dennoch greift sicher die wichtigsten modernen Ideen der symplektischen Geometrie und der Lie-Gruppentheorie auf.

Hier geht es darum, dass im frühen 20. Jahrhundert die Quantenmechanik und die klassische Mechanik wie zwei sehr unterschiedliche Theorien der Dynamik erschienen. Aber wenn wir Vladimir Arnolds Maxime ernst nehmen, dass "die Hamiltonsche Mechanik Geometrie im Phasenraum ist; der Phasenraum hat die Struktur einer symplektischen Mannigfaltigkeit", und wir auch die Ashtekar / Schilling-Maxime ernst nehmen, dass "die lineare Struktur, die im Vordergrund steht Lehrbuchbehandlungen der Quantenmechanik sind in erster Linie nur eine technische Annehmlichkeit und die wesentlichen Bestandteile - die Mannigfaltigkeit der Zustände, die symplektische Struktur und die Riemannsche Metrik - teilen diese Linearität nicht ", dann kommen wir zu einer besseren Anerkennung, dass Troy Schillings These von 1996 auf einer starken mathematischen Grundlage beruht, um zu behaupten, dass "

Dieser einheitliche geometrische Ansatz der klassischen / Quantendynamik gelingt sich in erster Linie , indem sie die klassische Mechanik scheint mehr mysteriös und Quantenmechanik scheint weniger mysteriös ... und es ist gut für die Studenten zu wissen , dass dies ist (von vielen) tragfähige Ansätzen für das Lernen beiden Arten von Mechanik.

5

Wenn Sie sie noch nicht gesehen haben, empfehle ich Scott Aaronsons Vorlesungsunterlagen "Quantum Computing Since Democritus" , insbesondere Vorlesung 9 . Sie haben mir als Nicht-Experte wirklich geholfen, und ich habe versucht, seine Präsentation hier und hier auf die wichtigsten Punkte zu beschränken .

Was Ihre spezifische Abfrage betrifft, hilft es meiner Meinung nach, die Intuition zu stärken, wenn Sie einige einfache Beispiele mithilfe der Born-Regel berechnen und sehen können, wie das Messpostulat in der Praxis funktioniert.

Ich fand es am einfachsten, mir Folgendes vorzustellen: "Die Wahrscheinlichkeit, das i-te Ergebnis zu messen, ist das Quadrat der Amplitude des i-ten Elements des Zustandsvektors - wenn Sie die Basis zu den Eigenvektoren des Operators ändern."

Dies hängt auch gut mit der Intuition zusammen, dass die Quantenmechanik eine Wahrscheinlichkeit mit komplexen Zahlen ist - da die Quadrate der Amplituden sich zu 1 summieren müssen.

Solange Sie Quantencomputer studieren, sollten Sie sich auch diese Diskussion über Shors Algorithmus ansehen .

— Mugizi Rwebangira
quelle

Dank dir Mugizi ... Scott Aaronsons Vorlesungsunterlagen scheinen wirklich nett zu sein.

— Akash Kumar

4

Nachtrag.

Nachdem Sie die Form Ihrer Frage ( z. B. das M ^† M im Nenner - im Gegensatz zu einem einzelnen Operator M, der für Projektoren ausreicht) überdacht und meine Kopie von Nielsen und Chaung erneut konsultiert haben, finden Sie hier einige ergänzende Details nicht durch meine vorherige Antwort abgedeckt. (Ich poste dies aufgrund der Länge als separate Antwort und weil ich der Meinung bin, dass dies noch weniger eine "Erklärung" ist als meine vorherige Antwort.)

$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

U = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos (\frac{π}{12}) & \sin (\frac{π}{12}) \\ 0 & 0 & - \sin (\frac{π}{12}) & \cos (\frac{π}{12}) \end{matrix}]

$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$

Wir messen dann A in der Standardbasis (so dass A jetzt das Messergebnis speichert). Dies transformiert den Zustand von X wie folgt:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

$|\psi_1\rangle$ $|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

M_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |, M_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |;

$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$

$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

$|1\rangle$ $(\frac12,\frac12)$ $(\frac34,\frac14)$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

$M_c$

\underset{| ψ_{0} ⟩}{Pr} (result = c) = ⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$

$M_c$

| ψ_{1} ⟩ = \frac{M_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$

$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Allgemeine Bemerkungen.

$M_c$ $\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

$M_c$ $E_c = M_c^\dagger M_c$

Wenn Sie Messungen auf diese Weise in Bezug auf Kraus-Operatoren (und in Bezug auf ein 'Messergebnisregister' A wie oben) betrachten, können Sie den Begriff der Messung in den einer CPTP-Karte zusammenfassen, was mir sehr gut gefällt. (Dies ändert jedoch aus analytischer Sicht nichts, und Sie sollten sich keine Sorgen machen, wenn Sie mit CPTP-Karten noch nicht vertraut sind.)

— Niel de Beaudrap
quelle

4

Die Antwort von Niel de Beaudrap bezüglich der Kraus-Betreiber war sehr gut. In Bezug auf das Lehrbuch von Nielsen und Chuang bedeutet dies, dass man Kapitel 2, dann Kapitel 8 und dann die dazwischen liegenden Kapitel lesen sollte .

Darüber hinaus hat die Kraus-Operatordarstellung eine infinitesimale Grenze, die als Lindblad-Operator bezeichnet wird. Im Großen und Ganzen sind Lindbladsche Operatoren für Kraus-Operatoren das, was eine Lie-Algebra für eine Lie-Gruppe ist. Die Online-Notizen von Carlton Caves "Vollständig positive Karten, positive Karten und die Lindblad-Form" decken einen Großteil dieses Materials ab.

Der Vorteil der ausschließlichen Arbeit mit infinitesimalen Lindbladian-Operatoren anstelle von Kraus-Operatoren besteht darin, dass sich die Lindbladianer auf natürliche Weise auf Nicht-Hilbert-Quantenzustandsräume zurückziehen. Dazu gehören die Zustandsräume des Tensornetzwerks, die in der Quantenchemie und der Physik der kondensierten Materie allgegenwärtig werden. Darüber hinaus sind Pullback-Techniken auch in der Stringtheorie allgegenwärtig.

Derzeit gibt es kein Lehrbuch, das diese geometrische, nicht-Hilbert-Beschreibung der Quantendynamik entwickelt ... aber es sollte sie geben! Lehrbücher, die (mit den obigen Referenzen) insgesamt die Hauptideen abdecken, sind John Lee "Smooth Manifolds", Frenkel und Smit "Understanding Molecular Simulation: from Algorithms to Applications" sowie Kloeden und Platen "Numerical Solution of Stochastic Differential Equations".

Es ist wahr, dass dies viel Lesen ist ... und deshalb wird geometrische Quantendynamik nicht im Grundstudium gelehrt. Dies ist schade, da es für Studenten allzu leicht ist, die feste Vorstellung zu erlangen, dass der Zustandsraum quantendynamischer Systeme ein linearer Vektorraum ist, obwohl dies bei den meisten praktischen Berechnungen im großen Maßstab nicht der Fall ist.

Was den Zustandsraum betrifft, den die Natur verwendet: Niemand weiß es - die experimentellen Beweise für die lokale (Tangentenraum-) Quantenlinearität sind ziemlich stark, aber die Beweise für die globale (Hilbert-Raum-) Quantenlinearität sind ziemlich schwach. Insbesondere können hochpräzise quantendynamische Molekularstrahl-Experimente, die in vielen Lehrbüchern als Beweis für die Quantenlinearität angeführt werden, mit der erforderlichen relativen Genauigkeit von ~ 1/2 ^ {65} in niedrigdimensionalen Tensornetzwerk-Zustandsräumen simuliert werden. Die nahezu perfekte dynamische Symplektizität ersetzt die nahezu perfekte dynamische Linearität.

Aus den oben genannten Gründen sollten Studenten des 21. Jahrhunderts die Lehrbücher des 20. Jahrhunderts möglicherweise nicht vollständig zum Nennwert akzeptieren. Aber wirklich, welcher Student des 21. Jahrhunderts würde es anders wollen?

Auf diese Weise haben Ingenieure von Quantensystemen ein mathematisches Toolset entwickelt, das geometrische und algebraische Natürlichkeit miteinander verbindet und allgemein für klassische, quanten- und hybride dynamische Systeme gilt.

Ergänzung bearbeiten: Als Test für die Machbarkeit eines geometrischen Ansatzes für die praktische Quantensimulation ergänzte unsere Gruppe für Quantensystemtechnik (QSE) Charlie Slichters klassisches Lehrbuch Prinzipien der Magnetresonanztomographie mit einer erweiterten Version von Kapitel 3 " Magnetische dipolare Verbreiterung und Polarisationstransport in" Starre Gitter ".

Diese geometrische Transkription weist natürlich auf mehrere offene Fragen in der geometrischen Dynamik hin; siehe zum Beispiel die MathOverflow-Frage " Was ist in quantendynamischen Simulationen das symmetrische (Riemannsche) Analogon einer Poisson-Klammer? "

— John Sidles
quelle

Ich habe gesehen, wie Sie im ganzen Netz die Flagge für diesen Ansatz schwenken. Können Sie mit ein oder zwei suggestiven Sätzen eine Vorstellung davon geben, wie die von Ihnen erwähnten Zustandsräume nicht linear sind? Bei der geometrischen Quantisierung beginnen Sie mit einer Mannigfaltigkeit M als klassischem Phasenraum, aber der Quantenzustandsraum ist der Hilbert-Raum L ^ 2 (M). Das heißt, selbst wenn die klassische Geometrie stark nichtlinear ist, ist die Quantengeometrie immer noch linear, obwohl sie natürlich viel größer ist (sie hat eine unendliche Dimension und so weiter).

— Per Vognsen

Entschuldigung, ich habe eine Notlüge erzählt. Sie müssen tatsächlich L ^ 2 über ein Linienbündel auf M betrachten. Aber der grundlegende Punkt bleibt.

— Per Vognsen

Per, was Sie sagen, trifft auf die klassische (hauptsächlich russische) Schule der "geometrischen Quantisierung" zu, in der man mit einem klassischen System beginnt und eine Quantenverallgemeinerung davon sucht. Aber genau das Gegenteil passiert in Ashtekar / Schilling-Modellen der "geometrischen Quantenmechanik", in denen der Ausgangspunkt die symplektische / Lindbladsche Dynamik auf einer K & auml; hler-Mannigfaltigkeit ist.

— John Sidles

1

Hmmm ... lass es uns besser formatieren! Per, in der (hauptsächlich russischen) Schule der "geometrischen Quantisierung" beginnt man mit der klassischen Dynamik und sucht eine Quantenverallgemeinerung davon. Die entgegengesetzte Bewegung ist in Ashtekar / Schilling-Modellen der "geometrischen Quantenmechanik" zu sehen, in denen der Start eine symplektische / Lindbladsche Dynamik auf einem Kahler-Zustandsraum ist, woraufhin einer: (1) klassische Dynamik als durch Lindblad-Fluss induzierte Grenze aufweist und / oder (2) zieht sich als große N (spektrale) Näherung auf den Hilbert-Raum zurück. In der Technik werden die beiden letztgenannten Methoden häufig verwendet, jedoch nicht allgemein gelehrt.

— John Sidles

3

Warum werden Observablen zunächst von Operatoren dargestellt? In der klassischen Mechanik ist ein Observable eine reelle Funktion im Phasenraum. Es extrahiert Informationen über Werte wie Energie oder Impuls aus dem System, beeinflusst es jedoch nicht oder stört es nicht. Wenn der Beobachter Teil des Systems ist, ist die Messung ein physikalischer Prozess und kann die Entwicklung des Systems verändern. Damit die endliche, nicht infinitesimale Zeitentwicklung einheitlich ist (dh die Gesamtwahrscheinlichkeit beibehält), muss die infinitesimale Zeitentwicklung hermitisch sein. Dies ist Stones Satz; es erklärt, warum Operatoren in der Quantenmechanik hermitisch sind.

$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

$M$ $\mid\psi\rangle$ $M\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid$ $\langle\psi\mid M^\dagger$
$\langle\psi\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

— Per Vognsen
quelle

M

$M$

2

Nun, ich werde einige zusätzliche Referenzen bereitstellen, die für Akash Kumars Frage nach Quantenpostulaten relevant sind, um die Schüler zu ermutigen, die Mathematik zu lernen, die sie benötigen, um die vielen gut entwickelten Rahmenbedingungen für das Studium sowohl der klassischen als auch der Quantendynamik zu schätzen.

Beginnen wir dort, wo der Nielsen-Chuang-Text aufhört, nämlich mit "Theorem: Unitary Freedom in the Operator-Sum Representation" (Abschnitt 8.2 von Nielsen-Chuang). Der Text von Nielsen und Chuang stellt fest, dass eine praktische Anwendung dieses Theorems in der Theorie der Quantenfehlerkorrektur liegt, wo sie "entscheidend für ein gutes Verständnis der Quantenfehlerkorrektur" war. Aber dann verstummt der Nielsen-Chuang-Text.

Die (bisher) hier auf Stack Exchange gegebenen Antworten helfen nicht viel beim Verständnis dieser "einheitlichen Freiheit" ... die, wie sich herausstellt, für alle Aspekte der Quantenmechanik von zentraler Bedeutung ist, die mit dem verbunden sind, was Einstein und Bohr die "spukhaften Fernwirkungen" nannten. (gruselige Fernwirkung) der Quantenmechanik. Diese einheitliche Freiheit ist insbesondere der Schlüssel zum Auslesen von Quanten, zur Korrektur von Quantenfehlern und zur Quantenkryptographie - drei der Hauptgründe, warum TCS-Studenten die Quantendynamik untersuchen.

Was sollte der Schüler lesen, um mehr zu erfahren? Es gibt viele Optionen (und andere haben möglicherweise ihre eigenen Vorlieben), aber ich werde Howard Carmichaels "Statistische Methoden in der Quantenoptik: Nicht-klassische Felder" empfehlen, insbesondere Kapitel 17-19 mit dem Titel "Quantum Trajectories I-". III ".

In diesen drei Kapiteln motiviert Carmichaels Text physisch, was der Nielsen-Chuang-Text als formale Postulate und Theoreme codiert, nämlich unsere Freiheit, projektive Messungen (auch nicht-projektive Messungen) auf verschiedene Weise zu "entwirren". Physikalisch stellt diese Freiheit sicher, dass wir in einem kausal trennbaren Universum leben. Mathematisch ist diese Freiheit die Grundlage aller Quantenkryptographie und Fehlerkorrektur.

AFACIT, es war Carmichael selbst, der 1993 den heute üblichen Begriff "Enträtseln" erfand, um diese informatische Invarianz zu beschreiben. Seitdem ist die Entschlüsselungsliteratur immens gewachsen: Eine Ganztextsuche des arxiv-Servers nach "Quanten" und "Enträtselung" findet 762 Manuskripte; Die Variante "enträtseln" findet 612 weitere Manuskripte (möglicherweise mit einigen Duplikaten).

Natürlich ist das Erlernen des mathematischen Werkzeugsatzes und der physikalischen Ideen, die mit dem Auflösen von Quanten verbunden sind, eine Menge Arbeit. Es ist vernünftig zu fragen, welchen Nutzen die Schüler vernünftigerweise erwarten können, um diese harte Arbeit zurückzuzahlen. Als Antwort hier ein Gleichnis aus einem Absatz, dessen Haupttugend darin besteht, dass es immens kürzer ist als das Lesen von zwei sehr langen, harten Quantentexten (Nielsen-Chuang und Carmichael).

Es war einmal eine Studentin der euklidischen Geometrie namens Alice, die sich fragte: "Wie funktioniert die Messung der euklidischen Länge wirklich?" Die euklidischen Postulate beantworteten Alices Frage wie folgt: "Alle physikalischen Längenmessungen entsprechen Messungen mit einem Kompass, dessen mathematisches Modell ein Segment der Zahlenlinie ist." Durch eine immense Anstrengung kreativer Vorstellungskraft konzipierte Alice eine äquivalente und dennoch allgemeinere Antwort: "Alle physikalischen Längenmessungen entsprechen der Integration von Geschwindigkeiten entlang von Trajektorien, deren mathematisches Modell Kurven auf Mannigfaltigkeiten sind, die mit symplektischen und metrischen Formen und dynamischen Potentialen ausgestattet sind . " Alices nichteuklidisches Gerüst für die klassische Dynamik war viel zu lernen, öffnete sich aber für ihre neuen Welten der Wissenschaft, Technologie,

Um den Punkt des Gleichnisses deutlich zu machen, nahm Alice eine differenzierte Beschreibung der klassischen Dynamik an und befreite sich so von den starren Zwängen des euklidischen Raums. In ähnlicher Weise haben heutige Quantenstudenten die Möglichkeit, eine differenzierte Beschreibung der Enträtselungsdynamik zu verwenden und sich so von den starren Zwängen des Hilbert-Raums zu befreien.

Wie bei der nichteuklidischen klassischen Dynamik ist auch bei der nicht-Hilbert-Quantendynamik viel zu lernen - derzeit gibt es kein einziges Lehrbuch, das das gesamte erforderliche Material abdeckt - und dennoch diese neuen nichteuklidischen / nicht-hilbertischen Dynamische Rahmenbedingungen eröffnen riesige neue Welten für die Erforschung. Diese Untersuchungen erstrecken sich von den Geheimnissen der Stringtheorie bis zu den schwierigen Herausforderungen beim Schreiben effizienter, validierter Quantensimulationscodes in Chemie und Materialwissenschaften. Es ist klar, dass die Forschung in einem dieser Bereiche von den Studenten bereits eine tiefere als die euklidische Einschätzung der klassischen Dynamik und eine tiefere als Hilbert-Einschätzung der Quantendynamik erfordert.

Deshalb waren die mathematischen Herausforderungen und Forschungsmöglichkeiten, die sowohl mit der klassischen als auch mit der Quantendynamik verbunden sind, nie größer als heute. Was gut ist!