VC-Dimension von Kugeln in 3 Dimensionen

Ich suche nach der VC-Dimension des folgenden Set-Systems.

Universum so dass . Im Mengen-System jede Menge einer Kugel in so dass die Menge genau dann ein Element in enthält, wenn die entsprechende Kugel es enthält in .$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

Details, die ich bereits kenne.

1. Die VC-Dimension ist mindestens 4. Dies liegt daran, dass wenn 4 Ecken eines Tetraeders sind, es durch zerschmettert werden kann$p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. Die VC-Dimension beträgt höchstens 5. Dies liegt daran, dass das Mengen-System in eingebettet werden kann, wobei Kugeln in den Hyperebenen in . Es ist bekannt, dass Hyperebenen in die VC-Dimension .$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

Hier ist ein einfaches Argument:

Angenommen, es gibt eine Menge von 5 Punkten, die durch Bälle zerschmettert werden können. So für jede Menge besteht ein Ball st und eine Kugel st . Daher enthält keine Punkte von . Wenn , können und durch eine Ebene getrennt werden. Ansonsten ist der Schnittpunkt der Flächen von und ein Kreis. Die Ebene , in der der Kreis liegt trennt aus . Daher ist$U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$ kann durch Halbräume zerschmettert werden, ein Widerspruch.

Das gleiche Argument in einer höheren Dimension zeigt, dass die VC-Dimension von Kugeln gleich der VC-Dimension von Halbräumen ist.

Meine Lösung ist falsch. Siehe andere Antwort ...