Entscheidbarkeit des fraktalen Labyrinths

Ein fraktales Labyrinth ist ein Labyrinth, das Kopien von sich selbst enthält. ZB der folgende von Mark JP Wolf aus diesem Artikel :

Beginnen Sie am MINUS und begeben Sie sich zum PLUS. Wenn Sie eine kleinere Kopie des Labyrinths eingeben, achten Sie darauf, den Buchstabennamen dieser Kopie aufzuzeichnen, da Sie diese Kopie auf dem Weg nach draußen belassen müssen. Sie müssen jede verschachtelte Kopie des Labyrinths, in das Sie eingetreten sind, in der umgekehrten Reihenfolge verlassen, in der Sie sie eingegeben haben (z. B. A, B, C, C, B, A). Stellen Sie es sich als eine Reihe verschachtelter Boxen vor. Wenn die verschachtelte Kopie keinen Exit-Pfad mehr aufweist, ist eine Sackgasse erreicht. Farbe wurde hinzugefügt, um die Wege klarer zu machen, aber es ist nur dekorativ.

Wenn eine Lösung vorhanden ist, sollte die Breitensuche eine Lösung finden. Angenommen, es gibt keine Lösung für das Labyrinth - dann würde unser Suchprogramm für immer tiefer und tiefer gehen.

Meine Frage ist: Wie können wir angesichts eines fraktalen Labyrinths feststellen, ob es eine Lösung gibt oder nicht?

Oder gibt es für ein fraktales Labyrinth einer bestimmten Größe (Anzahl der Ein- / Ausgaben pro Kopie) eine Grenze für die Länge der kürzesten Lösung? (Wenn es eine solche Grenze gäbe, könnten wir nur so tief suchen)

Ein schneller informeller Algorithmus, um zu beweisen, dass das Problem entscheidbar ist:

• nehme an, dass es Ein- / Ausgänge I 1 , . . . Ich n ;$n$$I_1,...I_n$
• man erstelle einen Graphen in dem jedes I i , das M I N U S und das P L U S Knoten sind, und ersetze jedes verschachtelte Labyrinth M j durch einen K n -Untergraphen (vollständiger Graph); füge die Kanten zwischen I i , M I N U S , P L U S , M j I k entsprechend dem Labyrinth hinzu; behalte "extern" M j I i → M $G$$I_i$$MINUS$$PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$ Kanten, die sich von den entsprechenden "inneren" KantenIi→IkvonMjals vollständiger Untergraph unterscheiden;$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$$I_i \rightarrow I_k$$Mj$
• alle Pfade von MINUS nach PLUS in aufzählen (Zyklen vermeiden);$G$
• Wenn Sie einen Pfad finden, der eine verschachtelte Kopie nicht durchläuft, ist dies eine Lösung. andernfalls erweitern Sie jede "interne" Durchquerung der verschachtelten Labyrinthe jedes Pfades:$Mj$

Nehmen wir an, dass ein Pfad in der ersten Zählung ist , dann ist der Pfad eine gültige Lösung IIF gibt es einen Pfad von I i → I j und von I k → I h im ursprünglichen Labyrinth (Grafik G ).$MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$$I_k \rightarrow I_h$$G$

So müssen wir erweitern die und B I k → B I h Traversierungen Aufzählen alle Pfade von I i bis I k und I k zu I h in G .$A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$$I_h$$G$

Endlosschleifen werden erkannt, wenn wir alle Pfade von bis I k in einer Erweiterung eines Pfads auflisten, der in einer vorherigen Stufe bereits enthalten war . . . → M I i → M I k → . . . für ein Submaze M (es gibt nur n 2 mögliche Erweiterungen).$I_i$$I_k$$... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$$M$$n^2$

Eine Lösung ist gefunden, wenn wir eine Pfaderweiterung finden, die nur Ein- / Ausgänge ; Das Labyrinth hat keine Lösung, wenn wir die Pfade ohne Schleifen nicht weiter ausbauen können.$I_i$

Dies ist keine "Antwort" auf meine Frage, sondern ein erweiterter Kommentar, den die Leute hier vielleicht interessant finden.

Ich behaupte, dass es eine natürliche "Analyse-Typ" -Definition für ein Labyrinth und eine Lösung gibt, die sich von der hier verwendeten computerwissenschaftlich-graphentheoretischen Definition unterscheidet. Insbesondere kann es sich um ein fraktales Labyrinth handeln, das unter der Analysedefinition eine "Lösung" enthält, jedoch vom Marizio De Biasi-Algorithmus und der Pushdown-Automatentechnik von Peter Shor für unlösbar erklärt wird.

Definition: Ein Labyrinth ist eine kompakte Teilmenge der Ebene M ⊂ R 2, die einen Startpunkt und einen Endpunkt s , e ∈ M enthält . Eine Lösung ist eine kontinuierliche Funktion f : [ 0 , T ] → M , so daß f ( 0 ) = s und f ( T ) = e .$M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$

Betrachten Sie nun die Hilbert-Kurve :

Diese Kurve könnte man mit folgendem Diagramm als "fraktales Labyrinth" interpretieren:

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

Nun könnten Sie argumentieren, dass dies nicht im Sinne fraktaler Irrgärten ist, da die Hilbert-Kurve das gesamte Quadrat ausfüllt und Sie daher einfach ein gerades Liniensegment vom Anfang bis zum Ende zeichnen könnten. Dieser Einwand kann jedoch leicht außer Kraft gesetzt werden. Verwenden Sie einfach die direkte Einbettung des Hilbert-Kurvendiagramms, wie hier gezeigt:

Auch dies enthält eine Folge gleichmäßig konvergenter kontinuierlicher Pfade, die vom Anfang bis zum Ende verlaufen, und zwar nach demselben Argument, mit dem die gleichmäßige Konvergenz der Hilbert-Kurve gezeigt wird. Es ist jedoch ein wahres "fraktales Labyrinth" in dem Sinne, dass es nicht den gesamten Raum ausfüllt.

Wir haben also ein fraktales Labyrinth, das durch die analytische Definition lösbar, aber durch die graphentheoretische Definition unlösbar ist.

Wie auch immer, ich bin mir ziemlich sicher, dass meine Logik richtig ist, aber sie scheint mir nicht intuitiv zu sein. Wenn also jemand Licht in diese Sache bringen kann, wäre ich dankbar.