Ausreichende Bedingungen, um einen eindeutigen Fixpunkt (nicht einen eindeutigen kleinsten / größten Fixpunkt) für monotone Funktionen auf dem gesamten Gitter zu gewährleisten

Tarskis Fixpunktsatz besagt, dass die Fixpunkte eines monotonen Operators auf einem vollständigen Gitter ein vollständiges Gitter sind. Infolgedessen haben wir einen eindeutigen größten Fixpunkt und einen eindeutigen kleinsten Fixpunkt für einen monotonen Operator auf einem vollständigen Gitter.

Die Fixpunkte können eindeutig sein, im Allgemeinen jedoch viele.

Meine Frage wäre, unter welchen Bedingungen kann eine monotone Funktion einen eindeutigen Fixpunkt auf einem vollständigen Gitter haben? Gibt es einige praktisch ausreichende Bedingungen, um einen eindeutigen Fixpunkt zu gewährleisten? Es wäre nützlich, dies zu wissen, da Sie manchmal einen monotonen Operator haben, der eine Eigenschaft angibt. Es kann nicht trivial sein, anzugeben, ob es sich um den größten oder den kleinsten Fixpunkt handelt, den Sie wirklich angeben möchten. In einigen Fällen stimmen die beiden überein, und Sie wissen, dass das Iterieren von oben oder unten das gleiche Ergebnis liefert, und Sie würden gerne dasjenige auswählen, das einfacher oder effizienter ist.

Konstante Funktionen haben eindeutige Fixpunkte. Ein weiteres Kriterium, das anwendbar sein kann, ist der Vergleich von Näherungen.$\mu_i = \bigcup_{k<i}f^k(\bot)$ und $\nu_i = \bigcap_{k<i}f^k(\top)$der kleinsten und größten Fixpunkte. Trivial, sobald$\mu_i = \nu_i$ für einige $i$, es wurde entschieden, dass $f$hat einen eindeutigen Fixpunkt. Das Problem bei dieser Charakterisierung ist, dass je nach Gitter und$f$Es ist unvollständig, es sei denn, Sie sind bereit, transfinite Näherungen zu untersuchen.

Banachs Fixpunktsatz in konstruktiven metrischen Räumen ist eine Quelle eindeutiger Fixpunkte. In dieser theoretischen Frage finden Sie sowohl die Aussage des Theorems als auch einen konstruktiven Beweis (Sie erhalten also im Wesentlichen einen einfachen Algorithmus). Diese Referenz könnte Sie auch interessieren.

Existenz und Eindeutigkeit von Fixpunkten in teilweise geordneten Mengen und Anwendungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen . Juan J. Nieto und Rosana Rodriguez-Lopez. 2007