Minimale akkordlose Vervollständigung von Kurvendiagrammen: Ist es NP-schwer?

Das folgende interessante Problem ist kürzlich in meiner Forschung aufgetaucht:

INSTANZ: Graph . $G(V, E)$

LÖSUNG: Eine akkordlose ungerade Zyklus-Vervollständigung, definiert als eine Obermenge der Kantenmenge so dass der vervollständigte Graph die Eigenschaft hat, dass jede Kante in in einem akkordlosen ungeraden Zyklus enthalten ist. $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

MASSNAHME: Die Größe der Fertigstellung, dh . $|E' - E|$

Bisher konnten wir nachweisen, dass eine modifizierte Version dieses Problems NP-vollständig ist. Anstatt zu fordern , dass "jede Kante in in einem akkordlosen ungeraden Zyklus enthalten ist", fordern wir die stärkere Eigenschaft, dass "jede Kante enthalten ist in einem Dreieck (Zyklus der Länge 3) ". (Beachten Sie, dass dies nicht mit dem Problem MINIMUM CHORDAL GRAPH COMPLETION übereinstimmt .) $G'$

Ersteres wird leicht als Verallgemeinerung des Letzteren angesehen, aber soweit sind alle meine Bemühungen, es zu beweisen, gescheitert. Könnte jemand mit einem Zeiger / Verweis / etc. kommen?

— Gabor Retvari
quelle

Das Problem scheint in hohem Maße mit perfekten Graphen zu tun zu haben, die perfekt sind, wenn es ein ungerades (Anti) Loch gibt (akkordloser ungerader Zyklus mindestens Länge 5) [mehr auf Wikipedia]. Schlagen Sie daher vor, dass Sie versuchen, die Frage anhand einer Frage zu perfekten Diagrammen neu zu formulieren.

— vzn

@vzn: Ich bin mir nicht sicher, ob dieser starke Satz hier eine Hilfe sein könnte.

— Domotorp

Können wir in P entscheiden, ob jede Kante von G in einem akkordlosen ungeraden Zyklus enthalten ist? Ich denke, das ist möglich, aber ich verstehe nicht, wie.

— Domotorp

Nun, wir haben jetzt zwei Probleme. In P hätten wir leicht eine Entscheidung, ob wir für jede Kante entscheiden könnten, ob sie sich in einem akkordlosen ungeraden Zyklus befindet. Ich habe eine Referenz gefunden , die besagt, dass die Fragen "Enthält ein Graph einen induzierten ungeraden Zyklus mit einer Länge von mehr als drei, der durch einen vorgeschriebenen Scheitelpunkt verläuft?" und "Enthält ein Graph einen induzierten ungeraden Pfad zwischen zwei vorgeschriebenen Eckpunkten?" sind NP-vollständig, aber diese regeln unseren Fall nicht vollständig. Es kann sich herausstellen, dass das ursprüngliche Problem nicht in NP liegt, aber dennoch NP-schwer sein kann.

— Gabor Retvari

Können Sie angeben, in welchem Abschnitt Ihres Papiers Sie das Problem oben definieren und auf welchen Abschnitt des Papiers Sie sich beziehen? bis ("modifizierte Version als NP vollständig erwiesen")

— vzn

Wir beweisen, dass das Problem auch in seiner Entscheidungsform NP-schwer ist, dh '' Ist der Eingabegraph bereits eine akkordlose Vollendung eines ungeraden Zyklus? '', Indem wir das folgende Problem reduzieren: $G$

Aufgabe P : Gibt es bei einem Graphen und einer Kante einen akkordlosen ungeraden Zyklus mit einer Länge von mehr als 3, der durch ? $G$ $e\in E(G)$ $e$

Es ist bekannt, dass dieses Problem NP-schwer ist, wenn man die akkordlosen geraden Zyklen, die durch einen bestimmten Knoten verlaufen, in der in einem Ihrer Kommentare angegebenen Referenz , die in dem Abschnitt vor Abschnitt 3 angegeben ist, erkennt, indem man und : $p=0$ $q=2$

Im Übrigen sei und beliebige feste ganze Zahlen. Die folgenden Probleme sind NP-vollständig: Enthält ein Graph einen induzierten Zyklus durch einen vorgeschriebenen Scheitelpunkt mit der Länge (mod )? ... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

(Es kann eine Karp-Reduktion geben, aber wenn wir eine Cook-Reduktion zulassen, ziehen Sie die folgende Reduktion in Betracht: Ersetzen Sie den Knoten mit dem gegebenen Grad d in einen vollständigen Teilgraphen der Größe d mit richtigen ausgehenden Kanten. Dann können wir für jede Kante im vollständigen Graphen eine Abfrage durchführen das Orakel, das das Problem P löst. Beachten Sie, dass ein akkordloser gerader Zyklus, der durch den angegebenen Knoten verläuft, einem akkordlosen ungeraden Zyklus mit einer Länge von mehr als 3 entspricht, der durch eine der Kanten im vollständigen Diagramm verläuft.)

Nun zur Hauptverkleinerung. Bei einer gegebenen Instanz von Problem P stellen wir zuerst fest, ob Dreiecke durch . Wenn ja, löschen Sie jeden Knoten, der mit ein Dreieck bildet . Beachten Sie, dass das Löschen von Knoten, die mit ein Dreieck bilden , keine akkordlosen ungeraden Zyklen entfernt, die durch (durch die Eigenschaft akkordlos). $e$ $e$ $e$ $e$

Als nächstes wird für jede Kante andere als man einen Hilfsknoten hinzu , und zwei Kanten und . Beachten Sie, dass der neue Graph die folgende Eigenschaft hat: $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

hat einen akkordlosen ungeraden Zyklus mit einer Länge von mehr als 3, dergenau danndurch wenn eine akkordlose ungeraden Zyklus-Vollendung ist. $G$ $e$ $G'$

Für die einzige if-Richtung kann dies durch Berücksichtigung verschiedener Kantentypen in bewiesen werden . Jede andere Kante als (einschließlich der neu hinzugefügten Kanten) befindet sich in mindestens einem Dreieck (dem, das den Hilfsknoten enthält). und wird in einem ungeradzahligen Zyklus in sehnenloser seine , da es ein sehnenloser ungeradeen Zyklus ist , die durch in , und der Zyklus wird während des Knoten-Prozesses zum Löschen entfernt. $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

Für die if-Richtung müssen wir uns nur um die Kante kümmern , da sich alle Kanten außer in mindestens einem Dreieck befinden müssen . Es gibt einen akkordlosen ungeraden Zyklus, der durch in ( ist eine akkordlose ungeraden Zyklus-Vollendung). Der Zyklus kann durch die Konstruktion von keine Länge 3 haben , und da der Zyklus keine Hilfsknoten enthalten kann (durch die akkordlose Eigenschaft), wird er auch in Graph . Damit ist der Beweis vollständig. $e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯
quelle

Ich habe Probleme, eine der Reduzierungen zu befolgen. Wenn in der ersten Reduktion der gegebene Knoten v den Grad 5 hat, wird er nach der Reduktion K_5, und dieser K_5 enthält einen Zyklus ungerader Länge, aber er entspricht keinem Zyklus gerader Länge, der v enthält die Hauptverringerung sei G = (V, E) mit V = {1,2,3,4,5}, E = {12,23,34,45,15,35} und e = 34. G hat einen Zyklus der Länge 5, der durch e verläuft, aber in G 'ist Kante 34 eine Brücke und gehört zu keinem ungeraden Zyklus, wenn ich die Definition Ihrer Reduktion richtig verstehe.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Ich verstehe deinen Standpunkt. In Aufgabe P sollten wir den ungeraden Zyklus so erzwingen, dass er akkordlos ist. Daher enthält jeder vollständige Graph keine Zyklen mit ungerader Länge ohne Akkorde, und für jeden Zyklus mit ungerader Länge ohne Akkorde, der durch

, gibt es keine Dreiecke, die durch

auch Kanten im Zyklus verwenden. Ich werde die Antwort aktualisieren.

e

$e$

e

$e$

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

@ Hsien-ChihChang 張顯張顯: Was ist mit dem zweiten Punkt in Bezug auf die Hauptreduktion, dass wir, wenn wir achtlos "jeden Knoten löschen, der ein Dreieck mit

", gültige akkordlose ungerade Zyklen aus

entfernen könnten ? Und noch eine Frage: Die ursprüngliche Referenz belegt die NP-Vollständigkeit für die "Erkennung akkordloser ungerader Zyklen, die einen bestimmten Knoten passieren", aber Sie haben die Form "Erkennung akkordloser gerader Zyklen" verwendet. Haben Sie sich im Stillen bewiesen, dass Ersteres Letzteres impliziert (was ziemlich plausibel erscheint)?

e

$e$

G^{'}

$G'$

— Gabor Retvari

@ Hsien-ChihChang 張顯張顯: jedenfalls: da das Kopfgeld bald abläuft und ich nicht mehr an meinem Computer bin, vergebe ich dir jetzt den Preis. Vielen Dank für Ihre Antwort. Es hat mir wirklich geholfen, über das Problem auf neue Weise nachzudenken. Wenn Sie später wiederkommen und die oben genannten Probleme beheben können, wäre ich Ihnen sehr dankbar.

— Gabor Retvari

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

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$e$

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G^{'}

$G'$

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$e$

G

$G$

— Hsien-Chih Chang 張顯之