Kristoffers Lösung kann verwendet werden, um zu zeigen, dass unter der Annahme, dass Realwerte dargestellt werden, wir Grenzen von Sequenzen von Realwerten berechnen können, die berechenbar Cauchy sind. Denken Sie daran, dass eine Sequenz berechenbar Cauchy ist, wenn es eine berechenbare Abbildung f gibt, so dass bei jedem k, das wir haben | a m - a n | < 2 - k für alle m , n ≥ f ( k )( an)nfk| einm- an| < 2- km,n≥f(k). Die Standarddarstellungen von Real sind ähnlich, zum Beispiel die, bei denen ein Real durch eine Maschine dargestellt wird, die eine beliebig gute rationale Näherung berechnet. (Wir können auch in Bezug auf die Berechnung von Ziffern sprechen, aber dann müssen wir negative Ziffern zulassen. Dies ist ein bekanntes Problem in der Berechenbarkeitstheorie der Realzahlen.)
Satz: Angenommen, ist eine Teilmenge, so dass es eine berechenbare Folge ( a n ) n gibt, die berechenbar Cauchy ist und deren Grenze x = lim n a n außerhalb von S liegt . Dann ist die Frage "ist eine reelle Zahl x ein Element von S " unentscheidbar.S⊆R(an)nx=limnanSxS
Beweis.
Angenommen, entscheidbar. Betrachten Sie bei jeder Turingmaschine T die Sequenz b n, die als
b n = { a n definiert ist, wenn T in den ersten n Schritten nicht angehalten hat , a m, wenn T in Schritt m angehalten hat und m ≤ n .
Es ist leicht zu überprüfen, ob b n rechnerisch Cauchy ist, daher können wir seine Grenze y = lim n b n berechnen . Jetzt haben wir ySTbn
bn={anamif T has not halted in the first n steps,if T has halted in step m and m≤n.
bny=limnbn iff
T hält an, damit wir das Halteproblem lösen können. QED.
y∈ST
Es gibt einen dualen Satz, in dem wir annehmen, dass die Sequenz außerhalb von , ihre Grenze jedoch in S liegt .SS
Beispiele für Mengen die diese Bedingungen erfüllen, sind: ein offenes Intervall, ein geschlossenes Intervall, die negativen Zahlen, der Singleton { 0 } , rationale Zahlen, irrationale Zahlen, transzedentale Zahlen, algebraische Zahlen usw.S{0}
Eine Menge, die die Bedingungen des Satzes nicht erfüllt, ist die Menge rationaler Zahlen, die durch eine nicht berechenbare Zahl α übersetzt werden . Übung: Ist S entscheidbar?S={q+α∣q∈Q}αS