Was ist die einfachste unumstrittene Universal-Turing-Maschine mit zwei Zuständen?

Ich möchte eine einfache Turing-Maschine nach den Regeln eines Kartenspiels kodieren. Ich würde es gerne zu einer universellen Turingmaschine machen, um die Turing-Vollständigkeit zu beweisen.

Bisher habe ich einen Spielstatus erstellt, der Alex Smiths Turing-Maschine mit 2 Status und 3 Symbolen codiert . Allerdings scheint es (zugegebenermaßen basierend auf Wikipedia) Kontroversen darüber zu geben, ob die (2, 3) -Maschine tatsächlich universell ist.

Um genau zu sein, möchte ich, dass mein Beweis eine "unumstrittene" UTM enthält. Meine Fragen sind also:

1. Wird die (2,3) Maschine allgemein als universell, nichtuniversell oder kontrovers angesehen? Ich weiß nicht, wo es seriöse Orte gibt, um die Antwort darauf zu finden.

2. Wenn die (2,3) -Maschine nicht allgemein als universell anerkannt ist, welches ist das kleinste N, so dass eine (2, N) -Maschine unumstritten als universell anerkannt ist?

Bearbeitet, um hinzuzufügen: Es wäre auch nützlich, die Anforderungen für das Endlosband für die genannten Maschinen zu kennen, wenn Sie sie kennen. Es scheint, dass die (2,3) -Maschine einen nicht-periodischen Anfangszustand des Bandes benötigt, der nach den Regeln eines Kartenspiels etwas schwierig zu simulieren sein wird.

Seit der in den vorherigen Antworten zitierten Arbeit sind einige neue Ergebnisse zu verzeichnen. Diese Umfrage beschreibt den Stand der Technik (siehe Abbildung 1). Die Größe der kleinsten bekannten Universal-Turingmaschine hängt von den Details des Modells ab. Hier sind zwei Ergebnisse, die für diese Diskussion relevant sind:

• Es gibt eine Standard-Universalmaschine mit 18 Symbolen und zwei Zuständen (Rogozhin 1996. TCS, 168 (2): 215–240). Hier haben wir die übliche Vorstellung eines leeren Symbols in einer oder beiden Richtungen eines einzelnen Bandes.
• Es gibt eine schwach universelle Maschine mit 2 Zuständen und 4 Symbolen (Neary, Woods 2009. FCT. Springer LNCS 5699: 262-273). Hier haben wir ein einzelnes Band, das die endliche Eingabe enthält, und ein konstantes (unabhängig von der Eingabe) Wort das unendlich rechts wiederholt wird , und ein anderes konstantes Wort l, das unendlich links wiederholt wird. Dies verbessert die von David Eppstein erwähnte schwach universelle Maschine.$r$$l$

Es hört sich so an, als ob (2,18) für Sie am nützlichsten ist.

Es ist bekannt, dass alle kleinsten universellen Turing-Maschinen in polynomieller Zeit laufen. Dies impliziert, dass ihr Vorhersageproblem (wenn eine Maschine , die Eingabe w und die Zeit t unär sind, akzeptiert M w innerhalb der Zeit t ?) P-vollständig ist. Wenn Sie versuchen, ein (1-Spieler-) Spiel zu erstellen, kann dies nützlich sein, um beispielsweise zu zeigen, dass es NP-schwer ist, eine anfängliche Konfiguration (Kartenhand) zu finden, die innerhalb von t Zügen zu einem Gewinn führt. Für diese Komplexitätsprobleme kümmern wir uns nur um einen begrenzten Teil des Bandes, was die (extrem kleinen) schwach universellen Maschinen sehr nützlich macht.$M$$w$$t$$M$$w$$t$

Die Abbildung zeigt die kleinsten bekannten Universalmaschinen für eine Vielzahl von Turingmaschinen-Modellen (entnommen aus Neary, Woods SOFSEM 2012). Die Referenzen finden Sie hier .

Dies ist keine echte Antwort auf Ihre Frage (ich weiß nicht viel über die (2,3) Maschinendebatte); aber ich schlage Ihnen die Zeitung " Kleine Turingmaschinen und allgemeiner reger Biberwettbewerb " vor. Ich habe es vor einiger Zeit schnell gelesen und es hat eine schöne Grafik mit den Grenzen zwischen den 4 Arten von kleinen TMs:

• entscheidbar
• offenes Collatz-ähnliches Problem
• Simulation$3x + 1$
• Universal-

(Vielleicht wurden einige Ergebnisse verbessert).

Der Begriff TM, der in dem Papier verwendet wird, ist die Standarddefinition von TM, die in Papieren auf kleinen Universal-Turing-Maschinen verwendet wird:

... Sie haben ein einzigartiges eindimensionales Band, das in beide Richtungen unendlich ist, und einen einzigartigen Schreib- / Lesekopf. Es gibt ein leeres Symbol, das mit 0 bezeichnet ist. Anfangs wird ein endliches Wort, die Eingabe, auf das Band geschrieben, andere Zellen enthalten das leere Symbol, der Kopf liest das Symbol ganz links der Eingabe und der Zustand ist der Anfangszustand. Bei jedem Schritt wird das Symbol entsprechend dem aktuellen Maschinenzustand und dem vom Kopf gelesenen Symbol geändert, der Kopf bewegt sich nach links oder rechts (und kann nicht die gleiche Zelle lesen), und der Zustand wird geändert. Die Berechnung wird gestoppt, wenn ein besonderer Haltezustand erreicht ist. ...

Es ist auch möglich, Universalität mit 7 Zuständen und 2 Symbolen zu erreichen, obwohl viele der gleichen Einwände zutreffen (ungleichmäßige Anfangsbedingungen auf dem Endlosband und ungewöhnliche Beendigungsbedingungen). Siehe http://11011110.livejournal.com/104656.html und http://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html

Diese basieren auf der Simulation des von Matthew Cook universell nachgewiesenen Zellularautomaten nach Regel 110, und Cook fand auch eine 5-Symbol-Simulation nach Regel 110 mit zwei Zuständen, wenn Sie mit der Einschränkung verbunden sind, dass es nur zwei Zustände gibt.

$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

Zu jeder Zeit kann nur die aktuelle Zelle oder die beiden an einem Übergang beteiligten Zellen eine verbesserte Farbe haben: Alle anderen Zellen haben ihre wahre Farbe. Wir möchten, dass sich unsere Maschine wie folgt verhält: Überprüfen Sie, welcher echte Übergang ausgeführt werden soll, verschieben Sie die "True State" -Informationen von der Zelle, die wir verlassen möchten, in die Zielzelle (dies beinhaltet viel Hin und Her), und bereinigen Sie die Zelle, die wir verlassen haben, wiederholen.

$(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

Hier sind die Übergänge, um das umzusetzen. Bewegen Sie sich in fast allen Fällen in die vom aktuellen Status festgelegte Richtung und drehen Sie den Status um

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$$\langle dir\rangle$

$C+3SC$

es sei denn, Sie definieren "nicht kontrovers" auf irgendeine technische Weise, es gibt keine genaue Antwort. Hier ist eine weitere kleine Maschine, die auf Regel 110 basiert und sich in gewissem Sinne als universell erwiesen hat. Meines Wissens erfordert sie jedoch unendlich viele periodische Eingabebandformulierungen (und auch die Extraktion am Ende, wenn die Maschine anhält). Ich habe das in der Literatur beschriebene "periodische vs. nichtperiodische" Bandproblem nicht gesehen, obwohl es beispielsweise auf Mailinglisten für Mathematik [Foundations of Mathematics Mailingliste] diskutiert wurde.

Alex Smiths Turing-Universalitätsbeweis für Wolframs vermutete Turing-Maschine mit 2 Zuständen und 3 Symbolen ist definitiv nicht umstritten. Der gegebene Universalitätsnachweis (nicht die Maschine) erfordert ein unendliches Muster auf dem Turing-Band, und die Frage war, ob man solche Konfigurationen zulassen sollte (Sie können sich das normalerweise "leere" Band auch als ein unendliches sich wiederholendes Muster von leeren Symbolen vorstellen). Die Schlussfolgerung war, dass die Universalberechnung von der Turing-Maschine ausgeführt wird, solange die Konfiguration auf dem Maschinenband feststeht (dh, sie ändert sich nach dem Start Ihrer Berechnung nicht und bleibt für jede Berechnung gleich). Beachten Sie, dass dies für Wolframs elementare Zellularautomat-Regel 110, die Wolfram und Cook als universell erwiesen haben, NICHT umstritten ist. Der Universalitätsnachweis der Regel 110 erfordert auch ein unendliches Muster in der Anfangskonfiguration, das auf beiden Seiten unterschiedlich ist, und ist daher für die Turing-Maschine mit 2 Zuständen und 3 Symbolen von gleicher Natur. Eine andere Sorge war, dass eine solche Lockerung der (leeren) Anfangsbedingung möglicherweise einige akzeptierte nicht-Turing-Universalautomaten universal machen würde, wie z respektiert die Chomsky-Hierarchie. Es ist also definitiv nicht umstritten, ob die Turing-Maschine mit 2 Zuständen und 3 Symbolen universell ist, aber für den Universalitätsnachweis war eine Variation erforderlich, die normalerweise als die Cotents eines normalen Turing-Maschinenbands angesehen wird. Dies bedeutet übrigens nicht direkt, dass der 2-Zustand,