Gibt es Anwendungen von Techniken in der realen Analyse für die theoretische Informatik?

Ich habe weit und breit nach solchen Anwendungen gesucht und bin größtenteils zu kurz gekommen. Ich kann viele Anwendungen von Topologie und ähnlichen Strukturen auf abzählbaren (oder unzählbaren) Mengen finden, aber selten finde ich tatsächlich unzählbare Mengen als Untersuchungsgegenstand von Informatikern, was dazu führt, dass Techniken aus der Analyse benötigt werden.

Hier sind zwei verwandte Kurse:

• Analytische Methoden in Kombinatorik und CS von Ehud Friedgut an der University of Toronto (2009),
• Analytische Methoden in Kombinatorik und Informatik von Irit Dinur und Ehud Friedgut an der Hebräischen Universität (2006).

Überprüfen Sie auch die Notizen von Ryan O'Donnell für sein Buch:

• Analyse von Booleschen Funktionen von Ryan O'Donnell.

und die Links in der oberen rechten Ecke.

Siehe das Buch Konkrete Mathematik - Eine Stiftung für Informatik von Graham, Knuth und Patashnik. In Kapitel 9 erklären sie die Euler-Maclaurin-Summationsformel . Dies ist eine Technik, mit der Sie eine endliche Summe mithilfe von Integralen approximieren können. Im selben Kapitel, Seite 466, verwenden sie diese Technik, um die harmonische Zahl zu approximieren (die in verschiedenen Bereichen von TCS häufig vorkommt). Es passierte mir einmal, als ich es verwenden musste, und schließlich löste ich ein Integral mit asymptotischen Approximationstechniken für Differentialgleichungen!

Es gibt die in der Arbeit von Lovasz und B. Szegedy entwickelte Theorie der Grenzen dichter Graphsequenzen. Dies hat Auswirkungen auf bestimmte Probleme beim Testen von Eigenschaften in Diagrammen. Sehen http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf . Grundsätzlich besteht die Idee darin, dass sie eine geeignete Metrik für Diagramme und den Begriff der Begrenzung von Diagrammsequenzen definieren und dann zeigen, dass eine Diagrammeigenschaft testbar ist, wenn die Funktion, die ein Diagramm dem Bearbeitungsabstand zur Eigenschaft zuordnet, in der stetig ist Metrikraum in Diagrammen, der definiert wurde.

Und dann gibt es natürlich Flajolet und Sedgewick des Hauptwerk gewidmet ganz auf analytische Methoden zur asymptotischen Analyse von kombinatorischen -strukturen einschließlich der Analyse von Algorithmen. Dies erzeugt hauptsächlich Funktionstricks, die auf einer komplexen Analyse beruhen

Wie Shir sagte, zeigt sich Jensens Ungleichung die ganze Zeit. Besonders beim Nachweis von Grenzen in kombinatorischen Problemen. Betrachten Sie beispielsweise das folgende Problem:

Bei einer Familie von von Teilmengen von V = { 1 , ... , n } , dessen Schnitt Graph G = ( V , E ) definiert ist durch { i , j } ∈ E , wenn und nur wenn S i ∩ S j & ne; ∅ . Angenommen, die durchschnittliche eingestellte Größe ist r und die durchschnittliche Größe der paarweisen Schnittpunkte ist höchstens k. Zeige, dass$S_1, \ldots, S_n$$V = \{1, \ldots, n\}$$G = (V, E)$$\{i, j\} \in E$$S_i \cap S_j \neq \emptyset$$r$ .$|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

Beweis:

Zählen wir die Paare so, dass x ≤ V und x ≤ S i ≤ S j . Lassen Sie uns zuerst festlegen ( S i , S j ) , dass es höchstens k solcher Möglichkeiten gibt. Nimmt man auch alle Werte von ( S i , S j ) , so ergibt sich eine Obergrenze von k ⋅ ($(x, (S_i, S_j))$$x \in V$$x \in S_i \cap S_j$$(S_i, S_j)$$k$$(S_i, S_j)$. Wir beheben jetzt x. Es ist leicht zu sehendass jedesxhat ( d(x$k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$$x$ Möglichkeiten zur Auswahl(Si,Sj). Durch Jensens Ungleichung haben wir:$\binom{d(x)}{2}$$(S_i, S_j)$

$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$.

Wir kombinieren endlich Begriffe, um n zu haben$\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$.

Dies ist zwar etwas "mathematischer" als CS, zeigt jedoch, wie ein Tool für konvexe Funktionen verwendet werden kann - insbesondere bei der kombinatorischen Optimierung.

Wie wäre es mit Efficient Computation with Dedekind Reals von Andrej Bauer und Paul Taylor ?

Eine sehr verbreitete und oft nützliche Technik bei der Lösung eines Problems in der diskreten Mathematik ist die Einbettung in einen kontinuierlichen Bereich, da hierdurch eine größere Auswahl mathematischer Werkzeuge eingesetzt werden kann. Wenn ich meine Antwort korrigiere: Abgesehen von den Feldern, in denen die eigentliche Analyse auf natürliche Weise vorkommt (Grafiken, Signalverarbeitung und andere Felder, die die physische Welt imitieren oder mit ihr interagieren), taucht sie im Grunde überall auf und an Orten, an denen sie nicht vorhanden war Vermutlich wird es in Zukunft so sein.

Einige kurze Beispiele:

1. Fehlerkorrekturcodes: Reed-Solomon-Codes verwenden Polynome. Bei einigen Codebeschränkungen wird die Indikatorfunktion des Codes als Funktion vom diskreten Würfel bis zum Real betrachtet, wodurch eine Fouriertransformation und andere Techniken angewendet werden.
2. Die probabilistische Methode - Konzentrationssätze messen (ein analytisches Werkzeug) wird verwendet, um verschiedene Eigenschaften von Zufallsgraphen (z. B. chromatische Zahl) aufzuzeigen. Siehe Alon und Spencers Buch.

3. $v$$e$$\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$

4. $k-1$$k$$k-1$

Wenn ich mich richtig erinnere, verwendet der Satz von Noga Alon über das Teilen von Halsketten die fortlaufende Version des Problems.

Siehe: http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

Es gibt auch eine Erwähnung in der Wiki-Seite hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

Das Feld Ressourcengebundenes Maß wendet das Lebesgue-Maß auf Komplexitätsklassen an. Die Idee ist, eine Trennung zwischen Komplexitätsklassen zu erzielen, indem über die relativen "Größen" dieser Mengen gesprochen wird.

Es gibt eine schöne Arbeit, die Quantum One-Way Communication ist exponentiell stärker als die klassische Kommunikation von Boaz Klartag & Oded Regev, die eine große Anzahl von Techniken aus der realen Analyse verwendet, die in TCS ungewöhnlich sind, einschließlich der Radon-Transformation, der sphärischen Harmonischen und der hyperkontraktiven Ungleichungen auf der (nicht diskreten) Einheitssphäre

Eine exponentielle Untergrenze für die Größe monotoner reeller Schaltkreise (1997) von Haken, Cook

Die Zusammenhänge zwischen regulären / kontextfreien Sprachen und Funktionstheorie ((formalen) Potenzreihen) fand ich immer sehr spannend: Deshalb nennen die Franzosen diese Sprachklassen "rational" und "algebraisch". Dies weist auch auf Verbindungen zur fraktalen Geometrie hin. In ähnlicher Weise können beispielsweise endliche Automaten Sprachen für unendliche Wörter definieren, die schöne topologische Eigenschaften aufweisen, wenn sie mit der Standardtopologie für Metriken ausgestattet sind.

Eine weitere Verbindung könnte die kürzlich entwickelte Theorie der "Mengenfaltungen" sein, die es ermöglicht, mehrere Algorithmen zu beschleunigen, die den Fourier-Transformationen ähneln. Ich gehe davon aus, dass dies zumindest "inspirierende Ähnlichkeiten" sind.