Unabhängiger Satz für kubische dreieckfreie Diagramme


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Ich weiß, dass die maximale unabhängige Menge in kubischen dreieckfreien Graphen NP-vollständig ist.

Ist es immer noch NP-vollständig, falls die unabhängige Menge genau die Größe haben muss ? V | / 2 ?|V|/2

Grundsätzlich muss die YES-Instanz des Problems der unabhängigen Menge bei kubischen dreieckfreien Graphen genau Knoten. KEINE Instanz hat einen unabhängigen Satz von Größen kleiner als | V | / 2 .|V|/2|V|/2



Was sind die NO-Instanzen?
Yuval Filmus

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@YuvalFilmus Er ist das Problem zu fragen ist α(G)=|G|/2 wo ist die Reihenfolge des Graphen. Es sollte möglich sein, einige isolierte Eckpunkte auf den Graphen aufzufüllen, um die Unabhängigkeitszahl zu erhöhen. Mohammad, kennst du die Reduktion? Ist es nicht möglich, n / 2 - k isolierte Eckpunkte hinzuzufügen , um die gewünschte Reduktion zu erhalten? |G|n/2k
Pål GD

Nein, ich habe keine Ermäßigung.
Mohammad Al-Turkistany

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@ PålGD Die Reduktion würde nicht funktionieren, da das übliche Problem fragt, ob statt α ( G ) = k ist . In der Tat ist es nicht einmal klar, dass das Problem in NP liegt. α(G)kα(G)=k
Yuval Filmus

Antworten:


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Beginnen wir mit dem Beweis, dass die maximale unabhängige Menge höchstens Größe hat V | / 2 . Lass mich eine unabhängige Gruppe sein. Für jede Ecke v , lassen α ( v ) die Anzahl seiner Nachbarn in sein Ich . Wenn α ( v ) 1 , dann wissen wir , dass v I . Da der Graph kubisch ist, ist v α ( v ) = 3 | Ich | . Da α ( v ) |V|/2Ivα(v)Iα(v)1vIvα(v)=3|I| , die Anzahl der Eckpunkte, so dass α ( v ) 1 ist, mindestensα(v)3α(v)1. Daher | Ich | | V | / 2 .|I||I||V|/2

Wann können wir Gleichheit haben? Wir müssen , also müssen für jeden Scheitelpunkt, der nicht in I ist , alle seine Nachbarn in I sein . Das Gegenteil ist auch wahr - für jeden Vertex in I , alle seine Nachbarn sind nicht in I . Mit anderen Worten, der Graph muss zweiteilig sein. Dies kann in Polynomzeit überprüft werden.α(v){0,3}IIII


YuvalFilmus Vielen Dank. Gibt dies einen Polynomzeitalgorithmus für mein Problem?
Mohammad Al-Turkistany

Ich denke schon - stimmst du zu?
Yuval Filmus
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