Unabhängiger Satz für kubische dreieckfreie Diagramme

Ich weiß, dass die maximale unabhängige Menge in kubischen dreieckfreien Graphen NP-vollständig ist.

Ist es immer noch NP-vollständig, falls die unabhängige Menge genau die Größe haben muss ? $|V|/2$

Grundsätzlich muss die YES-Instanz des Problems der unabhängigen Menge bei kubischen dreieckfreien Graphen genau Knoten. KEINE Instanz hat einen unabhängigen Satz von Größen kleiner als . $|V|/2$ $|V|/2$

complexity-theory np-complete

— Mohammad Al-Turkistany
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cs.stackexchange.com/questions/1176/… kann relevant sein.

— Louis

Was sind die NO-Instanzen?

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Er ist das Problem zu fragen ist $\alpha(G) = |G| / 2$ wo

ist die Reihenfolge des Graphen. Es sollte möglich sein, einige isolierte Eckpunkte auf den Graphen aufzufüllen, um die Unabhängigkeitszahl zu erhöhen. Mohammad, kennst du die Reduktion? Ist es nicht möglich,

isolierte Eckpunkte hinzuzufügen , um die gewünschte Reduktion zu erhalten?

| G |

$|G|$

n / 2 - k

$n/2 - k$

— Pål GD

Nein, ich habe keine Ermäßigung.

— Mohammad Al-Turkistany

@ PålGD Die Reduktion würde nicht funktionieren, da das übliche Problem fragt, ob

statt

. In der Tat ist es nicht einmal klar, dass das Problem in NP liegt.

α (G) \geq k

$\alpha(G) \geq k$

α (G) = k

$\alpha(G) = k$

— Yuval Filmus

Beginnen wir mit dem Beweis, dass die maximale unabhängige Menge höchstens Größe hat . Lass eine unabhängige Gruppe sein. Für jede Ecke , lassen die Anzahl seiner Nachbarn in sein . Wenn , dann wissen wir , dass . Da der Graph kubisch ist, ist . Da $|V|/2$ $I$ $v$ $\alpha(v)$ $I$ $\alpha(v) \geq 1$ $v \notin I$ $\sum_v \alpha(v) = 3|I|$ , die Anzahl der Eckpunkte, so dass ist, mindestens $\alpha(v) \leq 3$ $\alpha(v) \geq 1$ . Daher . $|I|$ $|I| \leq |V|/2$

Wann können wir Gleichheit haben? Wir müssen , also müssen für jeden Scheitelpunkt, der nicht in , alle seine Nachbarn in . Das Gegenteil ist auch wahr - für jeden Vertex in , alle seine Nachbarn sind nicht in . Mit anderen Worten, der Graph muss zweiteilig sein. Dies kann in Polynomzeit überprüft werden. $\alpha(v) \in \{0,3\}$ $I$ $I$ $I$ $I$

— Yuval Filmus
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YuvalFilmus Vielen Dank. Gibt dies einen Polynomzeitalgorithmus für mein Problem?

— Mohammad Al-Turkistany

Ich denke schon - stimmst du zu?

— Yuval Filmus