Warum muss sich eine Turingmaschine, die dieselbe Konfiguration zweimal wiederholt, in einer Endlosschleife befinden?

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Ich habe die folgende Aussage gesehen und verstehe die Gründe dafür nicht ganz:

Wenn eine Turing-Maschine dieselbe Konfiguration zweimal wiederholt, muss sie sich in einer Endlosschleife befinden.

Ich dachte, dass a $TM$ kann in einem Zustand sein $q_1$ , mit dem Band links 000 und rechts 111. Nehmen wir an, es bewegt sich nach rechts und dann nach links und bleibt im gleichen Zustand; Sind wir nicht in der gleichen Konfiguration?

complexity-theory turing-machines

— Alan
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Ja, wir befinden uns in derselben Konfiguration und werden uns für immer nach rechts und links bewegen.

— Chi

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Dies liegt an der Übergangsfunktion $\delta$ eines TM ist deterministisch. Wenn die Konfiguration identisch ist, werden die Argumente von $\delta$ sind auch gleich, was zu einer Endlosschleife führt. Formal kann dies wie bei @ gnasher729 bewiesen werden .

Betrachten wir Ihr Beispiel. Wenn dein $TM$ bewegt sich wie folgt:

(q_{1}, \dots 00 [0] 111 \dots) \overset{q_{1}, right}{\to} (q_{1}, \dots 000 [1] 11 \dots) \overset{q_{1}, left}{\to} (q_{1}, \dots 00 [0] 111 \dots)

$(q_1, \dots00[0]111\dots) \xrightarrow{q_1, \text{right}} (q_1, \dots000[1]11\dots) \xrightarrow{q_1, \text{left}} (q_1, \dots00[0]111\dots)$

dann ist der letzte Schritt gleich dem ersten, was eine Endlosschleife bedeutet.

— nekketsuuu
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Ist es in beide Richtungen? Wenn ein TM dieselbe Konfiguration nicht zweimal wiederholt, wird es dann notwendigerweise gestoppt?

— Avishay28

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Gegenbeispiel: TM, das nur ein aktuelles Bit umdreht und sich immer nach rechts bewegt und keinen Endzustand hat. Wenn das anfängliche Band [0] 000 ... ist, verhält es sich wie 1 [0] 00 ..., 11 [0] 0 ..., 111 [0] ... und so weiter.

— nekketsuuu

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Befindet sich Ihre Turingmaschine nach n Schritten in einem Zustand X und nach n + m Schritten wieder in genau demselben Zustand X, wiederholt sie genau die gleichen Aktionen aus Schritt n + m, die sie in Schritt n und nach Schritt ausgeführt hat n + 2m befindet es sich wieder im Zustand X, gleich nach Schritt n + 3m, n + 4m und so weiter. Sie befinden sich also in einer Endlosschleife.

Ihr Beispiel war ein Fall, in dem Sie nach zwei Schritten wieder denselben Zustand erreicht haben, also m = 2.

— gnasher729
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_{Eine Version von @nekketsuus Antwort ohne Symbole, Pfeile oder Griechisch:}

Die Konfiguration einer Maschine bestimmt, was sie als Nächstes tut (und bestimmt induktiv ihre gesamte Zukunft). Wenn also nach einer bestimmten Konfiguration erreicht wird, dass Sie sie mit einigen weiteren Schritten wieder erreichen, geschieht dies immer wieder ohne Ende.

Dies gilt für jede deterministische Maschine: Drehmaschine, (deterministischer) endlicher Automat, (deterministischer) Stapelautomat usw.

— einpoklum
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