Eine dichte NP-vollständige Sprache impliziert P = NP

Wir sagen , dass die Sprache ist dicht , wenn es ein Polynom existiert , so dass für alleMit anderen Worten, für eine gegebene Länge existieren nur polynomisch viele Wörter der Länge , die nicht in $J \subseteq \Sigma^{*}$ $p$

| J^{c} \cap Σ^{n} | \leq p (n)

$|J^c \cap \Sigma^n| \leq p(n)$

n \in N .

$n \in \mathbb{N}.$

n

$n$

n

$n$

J .

$J.$

Bei dem Problem, das ich gerade studiere, muss Folgendes gezeigt werden

Wenn es eine dichte vollständige Sprache gibt, dann ist $NP$ $P = NP$

Was der Text vorschlägt, ist, die Polynomreduktion auf - und dann einen Algorithmus zu konstruieren, der versucht, die gegebene Formel zu erfüllen und gleichzeitig Elemente in erzeugen $3$ $SAT$ $CNF$ $J^c.$

Was ich mich wundere, ist

Gibt es einen direkteren Beweis? Ist dieser Begriff allgemeiner bekannt?

— Jernej
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Es gibt eine verwandte Vorstellung von spärlichen Sprachen, in der die Bedingung genau umgekehrt ist: .

| J \cap Σ^{n} | \leq p (n)

$|J \cap \Sigma^n| \leq p(n)$

— Yuval Filmus

Schauen Sie sich Mahaneys Satz an .

— Pål GD

@ PålGD In eine Antwort verwandeln? (Angenommen, das Argument überträgt sich auf dichte Sprachen)

— Yuval Filmus

Antworten:

Dies ist ein schönes Hausaufgabenproblem zu Mahaneys Theorem.

Beachten Sie, dass das Komplement einer "dichten" Sprache eine spärliche Sprache ist. Wenn eine Sprache -vollständig ist, ist ihre Ergänzung -vollständig. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Wenn es eine "dichte" -vollständige Sprache gibt, gibt es eine spärliche -vollständige Sprache. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Der Satz von Mahaney besagt, dass es keine spärliche -vollständige Sprache gibt, es sei denn, . $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

Wir können den Beweis übernehmen, dass es keine spärliche -vollständige Sprache gibt, es sei denn, entspricht (seit ist unter Ergänzungen geschlossen). $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

Zusammenfassend lautet die Antwort nein, es sei denn, . Beachten Sie, dass bei jede nichttriviale Sprache -vollständig ist. $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

ps: Vielleicht möchten Sie Folgendes ausprobieren und dann Theorem : Es gibt eine spärliche -komplette Menge, wenn es eine spärliche -komplette Menge gibt. Ich bezweifle jedoch, dass ein Beweis für diese Aussage viel einfacher wäre als ein Beweis für Mahaneys Theorem. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

— Kaveh
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$NP-Hard$ $P=NP$

Der erwähnte Entwurf enthält einen vollständigen Beweis.

— Reza
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Dies gibt nicht mehr als den Kommentar (der nicht einmal Ihnen gehört). Bitte erläutern Sie ausführlich, wie Sie diesen Beitrag richtig beantworten können.

— Raphael

@ Raffael: Es ist eine richtige Antwort. Hast du den Link überprüft?

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Antworten, die nur aus einem Link bestehen, werden bei SE im Allgemeinen als schlecht angesehen. siehe hier .

— Raphael

@Raphael: Die beantwortete Frage wurde bisher in der Literatur gelöst. Der Link enthält einen vollständigen Beweis (das sind 6 Seiten). Ich denke, wenn er mehr Fragen hat, könnten wir mit der Diskussion fortfahren.

— Reza

@ Raffael: Blöd. Ein Link ist besser als nichts. Wenn Sie möchten, erarbeiten Sie die Antwort selbst, anstatt einen Benutzer für das Posten eines nützlichen Links zu beschuldigen.

— Tsuyoshi Ito