Ist das Schreiben einer Zahl als zwei Quadrate und das Schreiben der Faktoren einer Zahl gleich schwierig?

Sei $L_1$ und wie folgt: $L_2$

$L_1=\{r:\exists x,y \in \mathbb{Z} \text{ such that } x^2+y^2=r\}$

$L_2=\{(N,M): M<N, \exists 1<d\leq M \text{ such that d|N} \}$

Anspruch $L_1 \leq_P L_2$

Skizzenbeweis

Wenn ich wissen will, ob . $r\in L_1$

Die Anzahl der ganzzahligen Lösungen für ist gegeben durch $x^2+y^2=r$

$g(r)=\sum_{d|r}{\chi{(d)}}$ wobei $\chi (x)=sin(\frac{\pi x}{2})=\cases{ 1\text{ when }x\cong 1 \text{ mod }4 \\ -1 \text{ when }x\cong 3 \text{ mod }4 \\ 0 \text{ when } 2|x }$

Dann ist . Die Antwort lautet also " ?" ist höchstens so schwer zu beantworten wie "Was sind die Teiler von ?" $L_1=\{r: g(r)\neq 0\}$ $r\in L_1$ $r$

$\square$

Was ich gerne wissen würde ist, ob dies umgekehrt wahr ist. Stimmt es, dass ich, wenn ich eine Maschine hätte, die mir in konstanter Zeit sagen könnte, ob , eine Maschine erstellen könnte, die antworten könnte: "ist ?" in Polynomzeit? $r\in L_1$ $(M,N)\in L_2$

Motivationen

Diese Frage entstand aus einer Diskussion über diese Frage .

Entschuldigung Ich bin wirklich nur ein math.se-Mitglied, das sich verlaufen hat und zu cs.se übergegangen ist. Lassen Sie mich wissen, ob meine Frage klar ist und den Standards dieser Website entspricht. Gerne nehme ich Korrekturen vor.

complexity-theory time-complexity np decision-problem

— Mason
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ich richtig?

\leq_{P}

$\leq_P$

— Mason

Ihre Reduktion ist korrekt, aber Ihre Schlussfolgerung, dass "so hart wie" ist, ist falsch. Sie zeigen nur , dass ist höchstens so hart wie . Insbesondere zeigen Sie tatsächlich, dass höchstens so schwer ist wie ein sehr eingeschränkter Fall von , was sehr einfach sein kann.

L_{1} \leq_{p} L_{2}

$L_1\le_p L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

— Shaull

Anstatt "einen Kreis zu befriedigen", könnte ein besserer Begriff "eine Summe von zwei Quadraten" sein.

— Yuval Filmus

@Shaull, ich habe eine Sprache geändert, um Ihren Kommentar wiederzugeben.

— Mason

Es ist bekannt, dass das Berechnen von bis zu einer randomisierten Polynomzeitverkürzung so schwierig wie das Faktorisieren ist. Siehe Bach, Miller und Shallit: Summen von Teilern, perfekten Zahlen und Factoring .

\sum_{d ∣ n} d

$\sum_{d\mid n}d$

— Emil Jeřábek

Hier ist die Situation, soweit ich das beurteilen kann:

Der effizienteste bekannte Weg, um die Mitgliedschaft in zu testen, ist der Faktor . Es scheint kein effizienterer Algorithmus bekannt zu sein. $L_1$ $r$

Es gibt jedoch keine offensichtliche Reduktion, um zu beweisen . Mit anderen Worten, wenn wir eine Maschine hätten, um zu entscheiden , gibt es keine einfache Möglichkeit, diese zur Faktorisierung zu verwenden. Wenn wir eine Zahl Faktor wollen , können wir ob prüfen , aber das gibt uns nur ein Bit an Information über die Faktoren von . Das Testen von Vielfachen von (dh ob für eine ganze Zahl ) liefert keine zusätzlichen Informationen, da das Wissen, ob ausreicht, um vorherzusagen, ob für alle $L_2 \le_P L_1$ $L_1$ $N$ $N \in L_1$ $N$ $N$ $cN \in L_1$ $c$ $N \in L_1$ $cN \in L_1$ $c>0$ . Das Testen anderer Zahlen scheint auch nicht offensichtlich zu helfen. (Das Testen, ob für eine andere Zahl scheint, scheint keine nützlichen Informationen zu liefern, wenn ; und ob wir eine Möglichkeit hatten, eine andere Zahl zu finden so dass , wir wissen bereits, wie man faktorisiert, aber natürlich wissen wir nicht, wie man das macht - daher ist es unwahrscheinlich, dass eine Zahl, die wir generieren können, uns etwas Nützliches gibt Informationen zu den Faktoren von ) Dies ist kein Beweis; es ist nur handgewellte Intuition. $N' \in L_1$ $N'$ $\gcd(N,N') =1$ $N'$ $\gcd(N,N')\ne 1$ $N$

Es erscheint also plausibel, dass einfacher als , und es erscheint auch plausibel, dass sie dieselbe Schwierigkeit haben könnten. Weitere Ergebnisse zu diesem Thema sind mir nicht bekannt. $L_1$ $L_2$

— DW
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