Ist der Schnittpunkt unendlich vieler rekursiver Mengen rekursiv?

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Ist der Schnittpunkt von unendlich vielen rekursiven Mengen $\bigcap_{i}U_{i}$ (wo jeder Satz anders ist) rekursiv? Rekursiv aufzählbar? Ich weiß, dass die Vereinigung nicht rekursiv sein muss, weil sie entscheidet, ob ein Element in der Menge enthalten ist $U_i$ ist dasselbe wie die Entscheidung über das Halteproblem, da Sie für jedes Element entscheiden müssen, ob die Funktion, die if berechnet $x \in U_i$ für einige $i$ wird beendet.

computability sets

Sollten "unendlich rekursive Mengen" "unendlich viele rekursive Mengen" sein?

— Andrej Bauer

@ AndrejBauer ja

Nach dieser Überlegung ist alles dasselbe wie die Entscheidung über das Stoppproblem. Ich möchte wissen, ob die Eingabenummer gleich 42 ist. Dazu muss ich entscheiden, ob das Programm, das nur anhält, wenn die Eingabenummer 42 ist, angehalten wird.

— user253751

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Da Sie bereits über Gewerkschaften Bescheid wissen, können Sie dies herausfinden, indem Sie sich an die Gesetze von de Morgan erinnern: Das Komplement einer Gewerkschaft ist das Komplement der Überschneidung von Komplementen. In diesem Sinne: lassen $U_i$ sei die Menge von (Indizes von) Turing-Maschinen, die nicht innerhalb anhalten $i$ Ausführungsschritte. Also die Ergänzung $\mathbb{N} \setminus U_i$ ist die Menge von (Indizes) jener Maschinen, die innerhalb der ersten anhalten $i$ Schritte.

Jetzt haben wir:

⋂_{ich} {U.}_{ich} = N. ∖ ⋃_{ich} (N. ∖ {U.}_{ich}) = N. ∖ H.

$\textstyle\bigcap_i U_i = \mathbb{N} \setminus \bigcup_i (\mathbb{N} \setminus U_i) = \mathbb{N} \setminus H$ wo

H

$H$ ist der Haltesatz. Die Ergänzung von

H

$H$ ist weder rekursiv noch rekursiv aufzählbar.

Übrigens geben Sie an, dass "Sie entscheiden, ob sich ein Element in der Menge befindet $U_i$ ist das gleiche wie die Entscheidung über das Halteproblem ... ", was nicht unbedingt wahr ist. Zum Beispiel, wenn ich setze $U_i = \{42\}$ für alle $i$ , dann alle $U_i$ sind entscheidbar. Sie müssen darauf achten, was Ihre $U_i$ sind.

— Andrej Bauer
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Für jedes $i\in \mathbb{N}$ , nehmen $S_i = \mathbb{N}\setminus \{i\}$ . Sie können jetzt jedes gewünschte Set als erstellen $X = \bigcap_{i\notin X}S_i$ .

Ebenso ist es einfacher zu lassen, dass eine Vereinigung rekursiver Mengen überhaupt etwas sein kann $T_i=\{i\}$ und jetzt ein beliebiger Satz $X$ ist $X = \bigcup_{i\in X}T_i$ .

— David Richerby
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