Ich sehe viele algorithmische Probleme, die die Zeilen von:

Sie haben ein ganzzahliges Array , Sie müssen so finden, dass in Zeit maximiert wird.$h[1..n]\geq 0$$i,j$$(h[j]-h[i])(j-i)$$O(n)$

Offensichtlich besteht die -Zeitlösung darin, alle Paare zu berücksichtigen. Gibt es jedoch eine Möglichkeit, den Ausdruck in zu maximieren, ohne etwas anderes über die Eigenschaften von zu wissen ?$O(n^2)$$O(n)$$h$

Eine Idee, an die ich gedacht habe, ist, zu reparieren , dann müssen wir von bis , das gleich oder und da fest ist, brauchen wir .$j$$i^*$$1$$j-1$$\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$$\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$$j$$\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$

Ich sehe jedoch keine Möglichkeit, die darin enthaltenen abhängigen Begriffe loszuwerden . Irgendeine Hilfe?$j$

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Dies ist eine -Lösung. Eine O ( n ) -Lösung, auf die Willard Zhan hingewiesen hat, ist am Ende dieser Antwort angehängt.$O(n\log n)$$O(n)$

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Lösung$O(n\log n)$

Bezeichnen Sie aus Gründen der Übersichtlichkeit .$f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$

Definiere und l i sei der kleinste Index, so dass l i > l i - 1 und h [ l i ] < h [ l i - 1 ] . In ähnlicher Weise definieren Sie r 1 = n und r i ist der größte Index, so dass r i < r i - 1 und h [ r i ] $l_1=1$$l_i$$l_i>l_{i-1}$$h[l_i]<h[l_{i-1}]$$r_1=n$$r_i$$r_i<r_{i-1}$ . Die Sequenzen l 1 , l 2 , . . . und r 1 , r 2 , … sind in O ( n ) Zeitleicht zu berechnen.$h[r_i]>h[r_{i-1}]$$l_1,l_2,...$$r_1,r_2,\ldots$$O(n)$

Der Fall, in dem es kein so dass h [ i ] < h [ j ] (dh f ( i , j ) > 0 ) ist trivial. Wir konzentrieren uns jetzt auf nicht triviale Fälle. In solchen Fällen müssen wir nur solche Paare berücksichtigen, um die Lösung zu finden.$i<j$$h[i]< h[j]$$f(i,j)>0$

Für jedes , so daß h [ i ] < H [ j ] , lassen u der größte Index derart sein , dass L u ≤ i und v , den kleinsten Index derart , dass r v ≥ j , dann h [ l u ] ≤ h [ i ] (ansonsten l u + 1 ≤ i per Definition von l u + $i<j$$h[i]<h[j]$$u$$l_u\le i$$v$$r_v\ge j$$h[l_u]\le h[i]$$l_{u+1}\le i$$l_{u+1}$widerspricht somit der Definition von ) und in ähnlicher Weise h [ r v ] ≥ h [ j ] . Daher ( h [ r v ] - h [ l u ] ) ( R V - L u ) ≥ ( h [ j ] - H [ i ] ) ( R v - l u ) ≥ ( h $u$$h[r_v]\ge h[j]$ Das heißtwir müssen nur Paare betrachten ( L u , R v ) wobei l u < r v .

$$(h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(j-i).$$ $(l_u,r_v)$$l_u<r_v$

Bezeichne , haben wir das folgende Lemma.$v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$

Ein Paar wobei l u < r v , und wo es vorhanden ist u 0 , so dass u < u 0 und v < v ( u 0 ) oder derart , dass u > u 0 und v > v ( u 0 ) kann keine endgültige optimale Lösung sein.$(l_u,r_v)$$l_u<r_v$$u_0$$u<u_0$$v<v(u_0)$$u>u_0$$v>v(u_0)$

Beweis. Nach der Definition von , haben wir ( h [ r v ( u 0 ) ] - h [ l u 0 ] ) ( r v ( u 0 ) - l u 0 ) ≥ ( h [ r v ] - h [ l u 0 ] ) ( R V - $v(u_0)$ oder (h[rv]-h[r v ( u 0 ) ])l u 0 +h[l u 0 ](rv-r v ( u 0 ) )+h[r v ( u 0 ) ]r v ( u 0 )

$$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$$ $$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$$

In dem Fall, in dem und v < v ( u 0 ) sind , notieren Sie h [ r v ] - h [ r v ( u 0 ) ] < 0 und r v - r v ( u 0 ) > 0 und auch l u < l u 0 und h [ l u ] > $u<u_0$$v<v(u_0)$$h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$$r_v-r_{v(u_0)}>0$$l_u<l_{u_0}$ , haben wir $h[l_u]>h[l_{u_0}]$

$$\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$$

$$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$$ $$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$$

$(l_u,r_{v(u_0)})$$(l_u,r_v)$$\blacksquare$

$v(\ell/2)$$\ell$$l_1,l_2,\ldots$$o_1$$(l_u,r_v)$$u=1,\ldots,\ell/2-1$$v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$$o_2$$(l_u,r_v)$$u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$$v=1,\dots,v(\ell/2)$$\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$

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$O(n)$

$f(l_u,r_v)=-\infty$$l_u\ge r_v$$u>u_0$$v>v_0$$f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$$f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$$M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$$c$$r_1,r_2,\ldots$$r_{c-y+1}$$y$$M$$f$