Wie kann man beweisen, dass eine Matrixmultiplikation von zwei 2x2-Matrizen nicht mit weniger als 7 Multiplikationen durchgeführt werden kann?

In Strassens Matrixmultiplikation stellen wir eine merkwürdige (zumindest für mich) Tatsache fest, dass eine Matrixmultiplikation von zwei 2 × 2 eine 7-Multiplikation erfordert.

Frage: Wie kann man beweisen, dass es unmöglich ist, zwei 2 x 2-Matrizen in 6 Multiplikationen zu multiplizieren?

Bitte beachten Sie, dass Matrizen über ganzen Zahlen liegen.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Komplexität
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Es gibt andere Matrixmultiplikationsalgorithmen, die schneller sein können. Dieser Webartikel aus einer Stanford CME 323-Klasse enthält Details zu Strassens Algorithmus, Matrixmultiplikation: Strassens Algorithmus . Es gibt ein Wikipedia-Thema, den Strassen-Algorithmus , der auf Details eingeht und Links zu zusätzlichen Informationen enthält.

— Richard Chambers

@RichardChambers Beachten Sie, dass der Strassen-Algorithmus

Multiplikationen hat. Es scheint mir plausibel, dass diese Untergrenze wahr ist.

7

$7$

— Stella Biderman

Wie gesagt ist diese Frage falsch. Es gibt viele Matrizen, die mit

Multiplikationen multipliziert werden können. Sie wollen nach einem Beweis fragen, dass im schlimmsten Fall 7 erforderlich ist, auch wenn es eine Matrix gibt, für die 7 erforderlich ist

6

$6$

— Stella Biderman

@StellaBiderman Ja, ich habe gesehen, dass Strassen 7 Multiplikationen hat. Ich habe nicht auf die anderen, schnelleren und Algorithmen mit einer geringeren Komplexität geschaut. Soweit ich weiß, verwenden sie denselben Submatrix-Ansatz wie Strassen, aber ich bin mir nicht sicher. Ich habe nur einige zusätzliche Informationen zu Strassen's hinzugefügt.

— Richard Chambers

In Ihrer Frage scheint etwas zu fehlen. Ich kann leicht einen Algorithmus angeben, der mindestens einige Matrizen mit 0-Multiplikationen multiplizieren kann. Es gibt wahrscheinlich eine Einschränkung, die Sie nicht erwähnen.

— Jörg W Mittag

Dies ist ein klassisches Ergebnis von Winograd: Bei der Multiplikation von 2x2-Matrizen .

$n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— Yuval Filmus
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Das Ergebnis finden Sie unter:

S. Winograd, Nach Multiplikation von 2 × 2 Matrizen , Linearer Algebra und Appl. 4 (1971), 381–388, MR0297115 (45: 6173).

— Stella Biderman
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