Was ist strukturelle Komplexitätstheorie?

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Ich bin neu in der Komplexitätstheorie und möchte wissen, was strukturelle Komplexitätstheorie ist. Welche Probleme versuchen Theoretiker auf diesem Gebiet zu lösen und wie sieht ihre Zukunft aus? Aus der Wikipedia:

Die Theorie der strukturellen Komplexität oder einfach die strukturelle Komplexität ist das Studium von Komplexitätsklassen und nicht die rechnerische Komplexität einzelner Probleme und Algorithmen

Ich habe nicht die letzte Zeile "statt der rechnerischen Komplexität einzelner Probleme und Algorithmen" erhalten. Ich meine, in der Komplexitätstheorie konzentrieren wir uns auf Komplexitätsklassen, nicht auf Probleme.

Danke im Voraus

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— Komplexität
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Die Wikipedia-Aussage scheint klar genug zu sein. Was vielleicht fehlt, ist ein Begriff, der darauf hinweist, dass man sich eher auf die Komplexität von Problemen als auf Klassen bezieht. Die Computational_complexity_theory in Wikipedia sagt, wenn sie sich auf das „Klassifizieren… von Problemen… und das Beziehen von… Klassen“ konzentriert, scheint sie beides abzudecken, obwohl es so klingt, als könnte es nur für das erste im engeren Sinne verwendet werden.

— PJTraill

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Die strukturelle Komplexitätstheorie untersucht die Beziehung zwischen verschiedenen Komplexitätsklassen, normalerweise einheitlichen. Die zwei bekanntesten offenen Fragen auf diesem Gebiet sind:

Ist ? $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Ist ? $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$

In der Vergangenheit wurde in der Theorie der strukturellen Komplexität häufig Orakel entwickelt, die Komplexitätsklassen trennen oder verbinden. Zum Beispiel haben sich Leute Orakel , die sich auf , und andere Orakel, auf die sich . Diese Art von Aktivität scheint jetzt weniger beliebt zu sein. Die Diagonalisierung ist eine weitere gängige Beweismethode, die früher populärer war, heute jedoch etwas weniger populär ist. $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Ein weiteres häufiges Ziel ist der Nachweis bedingter Ergebnisse. Zum Beispiel zeigen Buhrman, Chang und Fortnow , dass wenn die zusammenbricht. Da vermutet wird, dass die streng ist (nicht kollabiert), folgt daraus wahrscheinlich . $\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{NP/1}$ $\mathsf{coNP} \not\subseteq \mathsf{NP/1}$

Was sind einige ähnliche Ergebnisse, die nicht als strukturelle Komplexitätstheorie angesehen werden? Hier sind einige Beispiele:

Führt zu Schaltungskomplexität. Zum Beispiel ist keine klassische strukturelle Komplexitätstheorie. $\mathsf{AC^0} \neq \mathsf{P}$
Ergebnisse zu bestimmten Problemen, zum Beispiel NP-Vollständigkeit bestimmter Probleme.

Andere Ergebnisse könnten im Prinzip als strukturelle Komplexitätstheorie betrachtet werden. Da sich die verwendeten Techniken jedoch so stark von den klassischen Ergebnissen in der strukturellen Komplexitätstheorie unterscheiden, werden sie normalerweise nicht als strukturelle Komplexitätstheorie angesehen. Auffällige Beispiele sind:

$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$ , das Algebraisierung verwendet. Dies ist ein Grenzbeispiel.
Das PCP-Theorem, das Ideen aus der Codierungstheorie verwendet.

Das Obige ist nur meine eigene Meinung. Andere Leute könnten sehr unterschiedliche Meinungen haben. Die strukturelle Komplexitätstheorie ist kein kodifiziertes Forschungsgebiet.

— Yuval Filmus
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Beispielsweise kann gezeigt werden, dass ein Problem NP-vollständig ist. Dies ist jedoch nicht das Ziel der strukturellen Komplexitätstheorie, da sie nichts Neues über die Struktur von Komplexitätsklassen aussagt.

— Fehler
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