Reduzierung vom 3-Partitions-Problem auf das Problem der ausgeglichenen Partition

Das 3-Partitions-Problem fragt, ob ein Satz von $3n$ Ganzzahlen in $n$ Sätze von drei Ganzzahlen unterteilt werden kann, so dass jeder Satz eine bestimmte Ganzzahl ergibt $B$ . Das Problem der ausgeglichenen Partition fragt, ob $2n$ Ganzzahlen in zwei Gruppen gleicher Kardinalität aufgeteilt werden können, sodass beide Gruppen die gleiche Summe haben. Es ist bekannt, dass beide Probleme NP-vollständig sind. 3-Partition ist jedoch stark NP-vollständig. Ich habe in der Literatur keine Reduktion von 3-Partition auf Balanced Partition gesehen.

Ich suche eine (einfache) Reduzierung von der 3-Partition auf das Problem der ausgeglichenen Partition.

complexity-theory reductions np-complete

— Mohammad Al-Turkistany
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Sie möchten also eine Zuordnung von Instanzen mit drei Partitionen und ausgewogener Partition? (Die "Meta-Reduktion" in der gleichen Richtung würde nach einer Zuordnung in der anderen suchen.)

— Raphael

Was ist Meta-Reduktion?

— Mohammad Al-Turkistany

Ich suche nach Karp-Reduzierung des 3-Partitions-Problems auf ein ausgeglichenes Partitions-Problem. Ich hoffe es ist klar.

— Mohammad Al-Turkistany

Ich bin zufrieden mit komplexen Reduktionen.

— Mohammad Al-Turkistany

da es schwach ist

, müssen Sie wahrscheinlich einen Trick ähnlich die etwa 3SAT , um es zu reduzieren , welche Zahlen mit vielen Bits verwenden. Siehe zum Beispiel Sipser. Und Sie können immer mehrere Reduktion kombinieren zu bekommen , was Sie wollen, sehen diese .

N P - h a r d

$\sf{NP\text{-}hard}$

— Kaveh

Antworten:

Es gibt Tausende von NP-vollständigen Problemen in der Literatur, und die meisten Paare haben keine expliziten Reduktionen. Da sich polynomielle Vielfachreduktionen zusammensetzen, ist es für die Forscher ausreichend, anzuhalten, wenn das Diagramm der veröffentlichten Reduktionen eng miteinander verknüpft ist, wodurch die Erforschung der NP-Vollständigkeit eine viel skalierbarere Aktivität darstellt.

Obwohl ich den Punkt nicht wirklich verstehe, werde ich Sie mit einer einigermaßen einfachen Reduktion von 3-PARTITION auf BALANCED PARTITION mit ein paar Hinweisen darüber, wie der Beweis der Korrektheit verläuft, überraschen.

Die Eingabe für die Reduktion sei , eine Instanz von 3-PARTITION. Stellen Sie sicher, dass . Sei eine große Zahl, die später gewählt wird. für jedes und jedes zwei Zahlen $x_1, \ldots, x_{3n}, B \in \mathbb Z$ $\sum_{i\in[3n]} x_i = nB$ $\beta$ $i \in [3n]$ $j \in [n]$ Intuitiv bedeutet die erste Zahl, dass der 3-Partition zugewiesen ist, und die zweite Zahl bedeutet das Gegenteil. DerTerm wird verwendet, um die Summe von 3-Partitionen zu verfolgen. DerTerm wird verwendet, um die Kardinalität der 3-Partition zu verfolgen. Mit demTerm wird sichergestellt, dass jedes genau einmal vergeben wird. Das

x_{i} β^{j} + β^{n + j} + β^{2 n + i} + β^{(i + 4) n + j} β^{(i + 4) n + j} .

$x_i \beta^j + \beta^{n+j} + \beta^{2n+i} + \beta^{(i+4)n+j}\\ \beta^{(i+4)n+j}.$

x_{i}

$x_i$

j

$j$

x_{i} β^{j}

$x_i \beta^j$

j

$j$

β^{n + j}

$\beta^{n+j}$

j

$j$

β^{2 n + i}

$\beta^{2n+i}$

x_{i}

$x_i$

Term

wird verwendet, um diese Zahlen in verschiedene ausgeglichene Partitionen zu zwingen.

β^{(i + 4) n + j}

$\beta^{(i+4)n+j}$

Ausgang zwei weitere Zahlen Die erste Zahl kennzeichnet die ausgeglichene Partition als "wahr" und die andere als "falsch". DerAusdruck wird verwendet, um diese Zahlen in verschiedene ausgeglichene Partitionen zu zwingen. Die anderen Terme bilden die Differenz zwischen der Summe einer 3-Partition und der Summe ihres Komplements und der Größe einer 3-Partition und der Größe ihres Komplements und der Häufigkeit, mit der zugewiesen wird.

1 + \sum_{j \in [n]} ((n - 2) B β^{j} + (3 n - 6) β^{n + j}) + \sum_{ich \in [3 n]} (n - 2) β^{2 n + ich} 1.

$1 + \sum_{j\in[n]} \Bigl((n-2)B\beta^j + (3n-6)\beta^{n+j}\Bigr) + \sum_{i\in[3n]} (n-2)\beta^{2n+i}\\ 1.$

1

$1$

x_{i}

$x_i$

sollte so groß gewählt werden, dass kein „Überlauf“ auftritt. $\beta$

— Herm
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Es ist schwer, Ihrer Konstruktion zu folgen / zu glauben, ohne ausgefeilte Ideen oder den Beweis. Können Sie bitte mindestens einen von beiden angeben?

— Raphael

Dieses Papier, Fast Balanced Partitioning is Hard Even on Grids und Trees , von Andreas Emil Feldmann enthält, was Sie wollen! Viel Glück!

$k$

— Daniel
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Dieses Papier hat nichts mit dem von Mohammad gestellten Problem zu tun. Hier geht es darum, die Eckpunkte eines Graphen zu partitionieren, um die Anzahl der Kanten zwischen den Partitionen zu minimieren.

— Domotorp