Gibt es ein duales Konzept für „Turing Complete“ in der Logik?

Es kann gezeigt werden, dass zwei Rechenmodelle vollständig sind, wenn jedes einen universellen Simulator für das andere codieren kann. Es kann gezeigt werden, dass zwei Logiken vollständig sind, wenn gezeigt wird, dass eine Codierung der Inferenzregeln (und möglicherweise Axiome, falls vorhanden) von beiden Theoreme des anderen sind. In Bezug auf die Berechenbarkeit hat dies zu einer natürlichen Vorstellung von der Vollständigkeit von Turing und der Turing-These der Kirche geführt. Ich habe jedoch nicht gesehen, wo die logische Vollständigkeit zu einer natürlich induzierten Vorstellung von vollständiger Vollständigkeit ähnlicher Qualität geführt hat.

Da Provability und Computability so eng miteinander verbunden sind, ist es meines Erachtens nicht zu viel zu bedenken, dass es in der Logik ein Konzept geben könnte, das ein natürliches Doppel zur Turing-Vollständigkeit ist. Spekulativ so etwas wie: Es gibt einen "wahren" Satz, der in einer Logik nicht genau dann beweisbar ist, wenn es eine berechenbare Funktion gibt, die nicht durch ein Rechenmodell beschrieben werden kann. Meine Frage ist, hat jemand das studiert? Eine Referenz oder einige Schlüsselwörter wären hilfreich.

Mit "wahr" und "berechenbar" im vorherigen Absatz beziehe ich mich auf die intuitiven, aber letztendlich undefinierbaren Ideen. Zum Beispiel könnte jemand zeigen, dass die Endlichkeit von Goodstein-Sequenzen "wahr" ist, aber in der Peano-Arithmetik nicht beweisbar ist, ohne das Konzept von "wahr" vollständig zu definieren. In ähnlicher Weise kann durch Diagonalisierung gezeigt werden, dass es berechenbare Funktionen gibt, die nicht primitiv rekursiv sind, ohne das Konzept der berechenbaren tatsächlich zu definieren. Ich habe mich gefragt, obgleich sie letztendlich eher empirische Konzepte sind, könnten die Konzepte vielleicht gut genug miteinander in Beziehung gesetzt werden, um die Konzepte der Vollständigkeit in Beziehung zu setzen.

Ich bin mir nicht sicher, warum Sie sagen, dass "wahr" letztendlich undefinierbar ist, da es eine genaue Definition dafür gibt, was es bedeutet, dass eine Formel erster Ordnung wahr ist .

Was bei der Berechenbarkeit einzigartig ist, ist, dass Sie für jede Definition (so wild wie Ihre Träume) für ein "Rechenmodell" es schließlich einer Reihe von Funktionen (den Funktionen, die es berechnen kann) zuordnen können. Auf diese Weise können Sie natürlich verschiedene Modelle vergleichen und nach dem Festlegen eines Modells (basierend auf einer empirischen Begründung wie "es ist eine gute Darstellung der Berechnung in der realen Welt") jedes andere Modell als vollständig bezeichnen, wenn es genau denselben Satz von berechnet Funktionen.

Wie vergleichen Sie jedoch verschiedene Logiken? Es scheint, dass es keine natürliche Eigenschaft gibt, die Sie an eine beliebige Logik anhängen und damit mit anderen Systemen vergleichen können. Sie können vielleicht die Logik korrigieren, z. B. Prädikatenlogik erster Ordnung, und nach der Vollständigkeit eines axiomatischen Systems fragen. Angenommen, Sie arbeiten in ZFC und glauben, dass es aus den natürlichen Axiomen besteht, die die Welt repräsentieren. Wenn Sie nun ein anderes axiomatisches System erhalten, können Sie fragen, ob sie dieselbe Theorie haben, und dieses System als vollständig bezeichnen, falls die Antwort Ja lautet. Ich denke, der Unterschied zum Berechenbarkeitsfall besteht darin, dass für die Berechenbarkeit ein stärkerer Konsens darüber besteht, wie das "Basismodell" aussehen sollte. Der Grund für diesen Konsens ist, dass viele unabhängige Berechnungsmodelle später als gleichwertig erwiesen wurden.