Bedeutung der Rekursion in der Berechenbarkeitstheorie

Die Berechenbarkeitstheorie wird auch als Rekursionstheorie bezeichnet. Warum heißt es so? Warum ist Rekursion so wichtig?

In den 1920er und 1930er Jahren versuchten die Menschen herauszufinden, was es bedeutet, "eine Funktion effektiv zu berechnen" (denken Sie daran, es gab keine Universalcomputer, und das Computing wurde von Menschen durchgeführt).

Es wurden mehrere Definitionen von "berechenbar" vorgeschlagen, von denen drei am besten bekannt sind:

1. Der Kalkül$\lambda$
2. Rekursive Funktionen
3. Turing-Maschinen

$\lambda$

Später gab es eine von Robert Soare popularisierte Bemühung, "rekursiv" in "berechenbar" zu ändern. Daher sprechen wir heutzutage von berechenbaren Funktionen und berechenbaren Mengen. Aber viele ältere Lehrbücher und viele Leute bevorzugen immer noch die "rekursive" Terminologie.

Soviel zur Geschichte. Wir können auch fragen, ob die Rekursion aus rein mathematischer Sicht für die Berechnung wichtig ist. Die Antwort ist ein klares "Ja!". Die Rekursion liegt den allgemeinen Programmiersprachen zugrunde (auch whileSchleifen sind nur eine Form der Rekursion, da sie while p do cdieselbe sind wie if p then (c; while p do c)), und viele grundlegende Datenstrukturen wie Listen und Bäume sind rekursiv. Rekursion ist in der Informatik und speziell in der Berechnungstheorie unvermeidlich.

Die Berechenbarkeitstheorie befasst sich mit berechenbaren Funktionen :-).

Solche Funktionen werden normalerweise (in dieser Community) als Funktionen definiert, die mit einer Turing-Maschine ausgedrückt werden können.

$f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$$T$$T$$x = 1^n$$T$$1^{f(x)}.$

Wie sich herausstellt, sind berechenbare Funktionen (Programme) äquivalent zu den Funktionen, die mit den hier beschriebenen Regeln erhalten werden können . Sie werden als rekursive Funktionen bezeichnet, da eine der Regeln zum Abrufen solcher Funktionen eine rekursive Definition ist (siehe 5. Regel auf Wikipedia).

Der Grund, warum die Rekursionstheorie eine große Bedeutung hat, entspricht der Frage, warum berechenbare Funktionen wichtig sind. Und die Antwort auf letzteres sollte ganz offensichtlich sein :)