Rechenkomplexität nicht aller gleich SAT-Varianten

Nicht alle gleich SAT ist ein NP Complete-Problem. Betrachten wir nun eine andere Variante des Problems.

Bei einem NAESAT-Problem (Not All Equal SAT) (beliebige Anzahl von Literalen pro Klausel zulässig) mit einer zusätzlichen Einschränkung, dass jedes Klauselpaar mindestens 1 Literal gemeinsam hat (keine Variablen, sondern Literale).

Ist dieses Problem immer noch NP-schwer? Es scheint so, aber ich bin mir nicht sicher über die Reduzierung.

Ihr Problem ist NP-schwer , wie aus einer (meiner Meinung nach bekannten) Reduktion von CNF-SAT hervorgeht: Reduzieren von (zum Beispiel)$3$-SAT wie folgt. Gegeben eine Formel$F$Erstellen Sie eine Formel für Ihr spezielles NAE-SAT, indem Sie beispielsweise genau eine zusätzliche Variable einführen $y$. Hinzufügen$y$ zu jeder Klausel in $F$ erhalten $F'$.

Beispiel: $F = (x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4)$ wird $F' := (x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3 \vee y) \wedge (\neg x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4 \vee y)$

Danach enthält jede Klausel $y$ und teilt somit (mindestens) ein Literal.

Beweisskizze: Wenn$F$ ist erfüllbar, verwenden Sie die gleiche zufriedenstellende Zuordnung, um zu erfüllen $F'$, zusammen mit $y = false$.

Wenn $F'$ ist zufriedenstellend, gibt es zwei Möglichkeiten

• $y = false$In diesem Fall erfüllt die gleiche Zuordnung $F$ ($F'$ hat mindestens ein wahres Literal pro Klausel und ist es nie $y$also $F$ hat auch mindestens ein wahres Literal pro Klausel)
• $y = true$, negiere die zufriedenstellende Zuordnung für $F'$ befriedigen $F$ (mindestens ein falsches Literal pro Klausel in $F'$, nachdem wir die Zuweisung negiert haben, haben wir mindestens ein wahres Literal pro Klausel)