Vereinfachen Sie die Komplexität von n Multichoose k

Ich habe einen rekursiven Algorithmus mit einer zeitlichen Komplexität, die der Auswahl von k Elementen aus n mit Wiederholung entspricht, und ich habe mich gefragt, ob ich einen vereinfachten Big-O-Ausdruck erhalten könnte. In meinem Fall kann $k$ größer als $n$ und sie wachsen unabhängig voneinander.

Insbesondere würde ich einen expliziten Exponentialausdruck erwarten. Das Beste, was ich bisher finden konnte, ist das basierend auf Stirlings Näherung $O(n!) \approx O((n/2)^n)$ , also kann ich das verwenden, aber ich habe mich gefragt, ob ich etwas Schöneres bekommen könnte.

O ((\binom{n + k - 1}{k})) = O (?)

$O\left({{n+k-1}\choose{k}}\right) = O(?)$

asymptotics combinatorics runtime-analysis

— yoniLavi
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Dies ist nicht gerade sehr hilfreich, aber sehr interessant Ramanujans faktorielle Annäherung

— Pratik Deoghare

Danke,

sieht nach einer coolen Annäherung aus, scheint aber in der Tat nicht zu helfen, dies zu vereinfachen.

n! \sim \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

$n! \sim \sqrt{\pi} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt[6]{8n^3 + 4n^2 + n + \frac{1}{30}}$

— YoniLavi

Antworten:

Bearbeiten: Diese Antwort ist für . Ohne in Bezug auf begrenzen, ist der Ausdruck unbegrenzt. $k<n$ $k$ $n$

Wenn ist, wird Ihr Ausdruck zu $k=n-1$ . Beachten Sie, dass nach Stirlings Formel für jede $O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)$ $0<\alpha<1$ wobeiist die binäre Entropie. Insbesondere. Deshalb haben wir für

(\binom{m}{α m}) = Θ (m^{- 1 / 2} 2^{H (α) m}),

${m \choose {\alpha m}}= \Theta(m^{-{1/2}} 2^{H(\alpha)m}),$

H (q) = - q \log q - (1 - q) \log (1 - q)

$H(q)=-q \log q - (1-q) \log (1-q)$

H (1 / 2) = 1

$H(1/2)=1$

k = n - 1

$k=n-1$

O ((\binom{2 (n - 1)}{n - 1})) = Θ ((2 n - 2)^{- 1 / 2} 2^{2 n - 2}) = Θ (\frac{4^{n}}{\sqrt{n}}) .

$O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)=\Theta((2n-2)^{-{1/2}} 2^{2n-2})=\Theta\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right).$

Da die Obergrenze der schlechteste Fall ist (ich lasse es als Übung, um dies zu zeigen), ist Ihr Ausdruck $k=n-1$ . $O\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right)$

— A.Schulz
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Danke, genau das, wonach ich gesucht habe! und es ist noch eine andere Sache, die mich motiviert, Informationstheorie zu studieren.

— YoniLavi

@ Falcor84: Ich hatte im letzten Übergang einen kleineren Tippfehler. Der Quadratwurzelteil muss zum Nenner gehen. Daher ist die Grenze etwas besser als die von Paresh. (Eigentlich ist die Grenze asymptotisch eng.)

— A.Schulz

Ich hätte auch dieses kleine Minuszeichen bemerken sollen, nochmals vielen Dank.

— YoniLavi

Ihre Aussage "Links als Übung", dass

der schlimmste Fall ist, ist falsch. Wenn

, lautet der Ausdruck

k = n - 1

$k = n-1$

n = 3

$n=3$

. Dies ist nicht immer weniger als

(\binom{k + 2}{k}) = (\binom{k + 2}{2}) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

${k+2 \choose k} = {k+2 \choose 2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

(\binom{4}{2}) = 6

${4 \choose 2} = 6$

— Peter Shor

(\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{n + k - 1}{n - 1})

${{n+k-1}\choose{k}} = {{n+k-1}\choose{n-1}}$ ist das Problem in symmetrisch

n

$n$ and

k

$k$ (which can grow without relation in my case). Therefore, I suppose, the more accurate answer would be to replace n in the final part of the answer with

x := m a x (n, k)

$x := max(n,k)$

— yoniLavi

Wolfram says Sondow (2005)[1] and Sondow and Zudilin (2006)[2] noted the inequality:

\frac{1}{4 r m} {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m} < (\binom{(r + 1) m}{m}) < {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m}

$\frac{1}{4rm}\left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m < {(r+1)m \choose m} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m$ for

m

$m$ a positive integer and

r \geq 1

$r\ge 1$ a real number.

We can then use

(\binom{n + k - 1}{k}) < (\binom{n + k}{k}) = (\binom{(r + 1) m}{m})

${n+k-1\choose k} < {n+k\choose k} = {(r + 1)m \choose m}$ with

r = \frac{n}{k}

$r = \frac{n}{k}$ and

m = k

$m = k$ .

Then we have

(\binom{n + k - 1}{k}) < {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m} = {(\frac{n + k}{k})}^{n + k}

${n+k-1\choose k} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m = \left(\frac{n+k}{k}\right)^{n+k}$

Now, the binomial expression has the highest value at the middle of the Pascal's triangle. So, in our case, $n+k = 2k$ or at $k = n$ .

Substituting that in the above inequality, we get:

(\binom{n + k - 1}{k}) < 2^{2 n} = 4^{n}

${n+k-1\choose k} < 2^{2n} = 4^n$ .

Therefore, a tighter bound is

(\binom{n + k - 1}{k}) = O (4^{n})

${n+k-1\choose k} = O(4^n)$ .

You can also see that the lower bound for the maximum value is

(\binom{n + k - 1}{k}) = Ω (\frac{4^{n}}{n})

${n+k-1\choose k} = \Omega\left(\frac{4^n}{n}\right)$

References:
[1] Sondow, J. "Problem 11132." Amer. Math. Monthly 112, 180, 2005.
[2] Sondow, J. and Zudilin, W. "Euler’s constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper" Ramanujan J. 12, 225-244, 2006.

— Paresh
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