Wie kann man die Reduktion vom 3-Farben-Problem zum allgemeinen

3-Coloring-Problem kann NP-Complete unter Verwendung der Reduktion von 3SAT Graph Coloring (von 3SAT) bewiesen werden . Infolgedessen ist das 4-Farben-Problem NP-vollständig, wenn die Reduktion von 3-Farben verwendet wird:

Reduktion von einer 3-Farben-Instanz: Hinzufügen eines zusätzlichen Scheitelpunkts zum Diagramm des 3-Farben-Problems und Anpassen an alle ursprünglichen Scheitelpunkte.

Nach der gleichen Überlegung können 5-Farben-, 6- Farben- und sogar allgemeine Farbprobleme leicht als NP-vollständig nachgewiesen werden. Mein Problem ergibt sich jedoch aus der zugrunde liegenden mathematischen Induktion:$k$

Mein Problem: Was ist, wenn die Induktion zum Farb- und Farbproblem weitergeht, wobei die Anzahl der Eckpunkte im Diagramm ist? Ich weiß sicher, dass das Farbproblem trivial gelöst werden kann. Stimmt etwas mit der Argumentation nicht? Wie kann man die Reduktion vom 3-Farben-Problem zum allgemeinen -Farben-Problem verstehen?n n n $n-1$$n$$n$$n$$k$

Das Problem der Färbung wird normalerweise nur für die Konstante , daher ist die Färbung nicht sinnvoll. Für jede Konstante funktioniert die von Ihnen erwähnte Reduktion. Durch Hinzufügen einer überkonstanten Anzahl von Eckpunkten können Sie beispielsweise zeigen, dass die -Farbe NP-vollständig ist.k n k ≥ 3 ( n / 2 + 3 $k$$k$$n$$k \geq 3$$(n/2+3)$

Ihr offensichtlicher Widerspruch ergibt sich aus dem Missbrauch der Notation " ": Ihre Bedeutung ändert sich, wenn Sie sich durch die Frage bewegen.$n$

Wenn Sie sagen, dass Farben trivial sind, meinen Sie tatsächlich, dass es trivial ist, einen Graphen mit zu färben Farben. Das Problem der Färbbarkeit für jede Konstante ist jedoch das Problem der Bestimmung, ob ein beliebiger Eingabegraph mit einer beliebigen Anzahl von Eckpunkten eine ordnungsgemäße Färbung aufweist.G | V ( G ) | n n $n$$G$$|V(G)|$$n$ $n$$n$

Die Reduktionskette von Färbbarkeit zu Färbbarkeit fügt dem Diagramm Eckpunkte hinzu . Dies bedeutet, dass Sie nur dann eine triviale Instanz des Problems der Färbung erhalten können, wenn Ihre ursprüngliche Eingabe für das Problem der Färbung  oder weniger Eckpunkte aufweist - eine solche Instanz war bereits trivial färbbar.n n - 3 n 3 3 $3$$n$$n-3$$n$$3$$3$$3$

Übrigens muss keine Induktion verwendet werden, um zu beweisen, dass die Färbbarkeit für jedes NP- vollständig ist,  da es einfach ist, die in der Induktion auftretende Reduktionssequenz zusammenzustellen. Ein Graph  ist -colourable wenn, und nur dann, wenn der Graph  IS -colourable, wo ist die disjunkte Vereinigung von und eine Kopie von  , sowie alle möglichen Kanten zwischen den beiden Teilen .k ≥ 3 G 3 G ' k G ' G K k - $k$$k\geq 3$$G$$3$$G'$$k$$G'$$G$$K_{k-3}$

Das Problem der Färbung besteht darin, ein beliebiges Diagramm einzufärben . Sie können sicherlich Diagramme finden, für die die Färbung trivial ist, sowie Formeln, für die SAT trivial ist usw. Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die Komplexität der Probleme im Allgemeinen.$k$$k$