Kann eine Teilmenge eines NP-vollständigen Problems in P sein?

Das Problem ist NP-vollständig (bewährt) für alle Eingabedaten (ohne Ausnahme).

Wir nehmen an, dass P! = NP.

Ist es möglich, dass es eine (unendlich große) Teilmenge des Problems gibt, für die sich diese Teilmenge in P befindet?

Theoretische Frage.

Ihre Frage macht keinen Sinn:

Das Problem ist NP-vollständig (bewährt) für alle Eingabedaten (ohne Ausnahme).

Das ist keine Sache. Die NP-Vollständigkeit ist eine Eigenschaft ganzer Mengen, nicht spezifischer Eingaben. Es ist ziemlich trivial zu zeigen, dass jedes Problem besteht , wenn Sie eine bestimmte Eingabe auswählen$O(1)$zu diesem Eingang: Sie geben nur Ja oder Nein aus, je nachdem, was für Ihren Eingang richtig ist. Wenn Sie dies tun, bricht die gesamte Algorithmusanalyse zusammen und alles wird unbrauchbar. Also machen wir das nicht.

$P$, $NP$, $NP$- Vollständigkeit, Polynomzeit usw. hängen alle mit der asymptotischen Komplexität zusammen : Wie wächst die Laufzeit, wenn die Größe der Eingabe zunimmt ? Dies ist nur dann sinnvoll, wenn Sie verschiedene Eingaben betrachten. Ebenso ist die Ableitung eines Punkts im Kalkül eine Eigenschaft, die die den Punkt umgebende Kurve berücksichtigt.

Wir nehmen an, dass P! = NP.

Auch dies hat keinen Einfluss auf Ihre Antwort. Wenn$P = NP$dann jeder $P$ gesetzt ist $NP$-complete, ^* also gibt es eine Reihe von Teilmengen in$P$. Und wenn$P=NP$Die Beispiele, die Menschen gegeben haben, sind alle gültig.

Ist es möglich, dass es eine Teilmenge des Problems gibt (unendlich groß), dass dieses Problem in P ist?

Ja, und die anderen Antworten haben gute Beispiele dafür gegeben. Aber für die Nachwelt ist hier noch ein weiteres Gegenbeispiel.

• $k$-Farbe ist $NP$-Vollständig, wenn Sie nehmen $k$ als Eingabe, aber $2$-Farbe ist eine unendliche Teilmenge davon, die in ist $P$.

^{* Ausser für $\emptyset$ und $\Sigma^*$, die nicht sind $NP$-Komplett aus technischen Gründen in Bezug auf die Form der Ermäßigungen, die wir zur Definition der Vollständigkeit verwenden.}

Tatsächlich brauchen Sie das P nicht$\,\neq\,$NP- Hypothese, da es sogar unendlich viele zeitlich konstituierbare Teilmengen von NP- vollständigen Problemen gibt. Für jede NP- vollständige Sprache$L\subseteq\{0,1\}^*$, Lassen $L' = \{0w\mid w\in L\}\cup\{1w\mid w\in\{0,1\}^*\}$. $L'$ ist immer noch NP- vollständig (triviale Reduktion von $L$), enthält jedoch die unendliche, zeitlich konstante, entscheidbare Teilmenge aller Zeichenfolgen, die mit beginnen $1$.

Soweit ich Ihre Frage verstehe, ist dies möglich. Betrachten Sie als Beispiel die (unendlich große) Teilmenge von SAT, die alle erfüllbaren Formeln ohne Negationen enthält. Diese Untergruppe ist trivial in P.

Nehmen Sie das Beispiel von $\mathsf{3\text{-}Coloring}$ Problem ist es $\mathsf{NP\text{-}Complete}$ im Allgemeinen, aber für Bäume (es gibt unendlich viele) ist es in $\mathsf{P\text{}}$

Graph Färbung, maximale Clique und maximale unabhängige Menge sind $\mathcal{NP}$-vollständig (Entscheidungsversionen), aber Polynom auf perfekten Graphen.

Nehmen Sie das Problem des Handlungsreisenden: Gegeben sind n Städte und die Entfernungen zwischen jedem Städtepaar sowie eine Grenze d. Gibt es eine Route, die jede Stadt einmal berührt und dann mit einer Gesamtlänge ≤ d zum Startpunkt zurückkehrt?

Für jeden Satz von Städten und Entfernungen ist es für kleine Werte von d ("klein" abhängig von den Entfernungen) leicht zu zeigen, dass es keine Lösung gibt, und für große Werte von d ist es einfach, eine Lösung zu finden. Sie können also eine Teilmenge des Problems finden, bei der d groß oder klein genug ist, um jede Instanz in Polynomzeit zu lösen.