Warum ist

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$3^n = 2^{O(n)}$ ist anscheinend wahr. Ich dachte, dass es falsch ist, weil schneller wächst als jede Exponentialfunktion mit einer Basis von 2. $3^n$

Wie ist wahr? $3^n = 2^{O(n)}$

asymptotics landau-notation

— David Faux
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Vorsicht vor dem Missbrauch der Notation!

— Raphael

Wirklich kann ich nicht verstehen, was

bedeutet? zuerst habe ich es in

geändert , danach habe ich wieder gesehen, dass dies bedeutungslos ist. IMO-Frage ist bedeutungslos.

3^{n} = 2^{O (n)}

$3^n = 2^{O(n)}$

3^{n} \in 2^{O (n)}

$3^n \in 2^{O(n)}$

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Es ist sehr üblich,

für das zu schreiben, was im strengsten Sinne

. So häufig, dass es kaum als Notationsmissbrauch angesehen wird.

f (x) = O (g (x))

$f(x)=O(g(x))$

f (x) \in O (g (x))

$f(x)\in O(g(x))$

— David Richerby

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Mit etwas Algebra (und Ändern der Konstante in ) können wir tatsächlich die Basen ändern. $O(n)$

3^{n} = (2^{\log_{2} 3})^{n} = 2^{n \log_{2} 3}

$3^n = (2^{\log_2 3})^n = 2^{n\log_2 3}$

Da eine Konstante ist, ist . Also . $\log_2 3$ $n\log_2 3 = O(n)$ $3^n = 2^{O(n)}$

Ich bin mir nicht sicher, was Sie unter " wächst schneller als jede Exponentialfunktion mit einer Basis von 2" verstehen. natürlich, aber es scheint, dass Sie etwas allgemeineres meinen. Ich vermute, dass Ihre Aussage für etwas wie , bei dem Sie die Basis mit einer Konstanten multiplizieren, im Gegensatz zu bei dem Sie die Zahl im Exponenten mit einer Konstanten multiplizieren. $3^n$ $2^n = o(3^n)$ $O(3^n)$ $2^{O(n)}$

— SamM
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wächst schneller als jede Exponentialfunktion mit einer Basis von . $3^n$ $2$

Wahr. Dies impliziert, dass nicht wahr sein kann. Aber was Sie hier haben, ist . $3^n = O(2^n)$ $2^{O(n)}$

Denken Sie daran, dass wirklich eine Menge von Funktionen ist, und genau genommen sollten wir (oder sogar ) . Die rechte Seite ist nicht das Exponential einer Funktion, sondern das Exponential einer Reihe von Funktionen. Erweiterung der Definition von big oh: $O(f(n))$ $3^n \in 2^{O(n)}$ $(n \mapsto 3^n) \in 2^{O(n \mapsto n)}$

2^{O (n)} = 2^{{f ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}} = {(n \mapsto 2^{f (n)}) ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}

$2^{O(n)} = 2^{\{f \;\mid\; \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}} = \{(n \mapsto 2^{f(n)}) \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}$

Da die Exponentialfunktion zunimmt, können wir die Ungleichung aus dem Exponential : $n \mapsto 2^n$

2^{O (n)} = {g ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, g (n) \leq 2^{p n}}

$2^{O(n)} = \{g \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, g(n) \le 2^{p \, n}\}$

Contrast mit

O (2^{n}) = {g ∣ \exists N, \exists k, \forall n \geq N, g (n) \leq k 2^{n}}

$O(2^n) = \{g \mid \exists N, \exists k, \forall n \ge N, g(n) \le k \, 2^{n}\}$

$2^{O(n)}$ $O(2^n)$ $2^{p \, n} = 2^p 2^n$ $n \ge 0$ $3^n \le 2^{\log_2 3} 2^n$ $N = 0$ $p = \log_2 3$ $3^n \in 2^{O(n)}$

— Gilles 'SO - hör auf böse zu sein'
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$3^n=2^{O(n)}$ $O(n)$

$3^n < 2^{kn}$ $\log_2$

$n\log_2(3^n) < kn\log_2(2)$

$k > \log_2(3)$

$2^{kn}$ $3^n \iff k > \log_2(3)$

— Bartosz Przybylski
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