Finden einer optimalen Folge von Fragen, um die Gesamtstudienzeit zu minimieren

Angenommen, es gibt eine Tutorialsitzung an einer Universität. Wir haben eine Menge von $k$ Fragen $Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$ und eine Menge von $n$ Schülern $S = \{ s_1 \ldots s_n \}$ . Jeder Schüler hat Zweifel an einer bestimmten Teilmenge von Fragen, dh für jeden Schüler $s_j$ sei $Q_j \subseteq Q$ die Menge von Fragen, an denen ein Schüler zweifelt. Es sei angenommen, dass $\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$ und $\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$ .

Alle Schüler nehmen zu Beginn an der Übungsstunde teil (bei ). Nun verlässt ein Schüler die Übungsstunde, sobald alle Fragen besprochen wurden, an denen er Zweifel hat. Angenommen, die Zeit für die Erörterung jeder Frage ist gleich, sagen wir 1 Einheit . Sei die Zeit, die in der Lerneinheit verbracht hat. Wir wollen eine optimale Permutation herausfinden, in der Fragen diskutiert werden wie die Größe $t = 0$ $^*$ $t_j$ $s_j$ $\sigma$ $(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$ minimiert. $T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$

Ich war nicht in der Lage, einen polynomialen Zeitalgorithmus zu entwerfen oder die -Härte zu beweisen . $\mathsf{NP}$

Wir können eine Entscheidung Version des Problems definieren

T U T = {⟨ k, n, F_{Q}, C ⟩ ∣ \exists σ : T_{σ} \leq C}

$\mathsf{TUT} = \{\langle k, n, \mathcal{F}_Q, C \rangle \mid \exists \sigma : T_{\sigma} \leq C\}$

wobei die Menge von . $\mathcal{F}_Q$ $Q_j$

Wir können dann das Minimum Verwendung der binären Suche in herausfinden und das optimale Verwendung von Teilzuweisungen zu in der Polynomzeit unter Verwendung eines Orakels für herausfinden . Auch weil das optimale als Zertifikat verwendet werden kann, das wir in polynomialer Zeit leicht überprüfen können. $T_\sigma$ $C$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$ $\sigma$

Meine Frage: Ist -vollständig oder können wir einen polynomialen Zeitalgorithmus dafür entwerfen? $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$

Randbemerkung: Ich habe mir diese Frage übrigens nach einer eigentlichen Übungsstunde überlegt, in der der TA die Fragen in der normalen Reihenfolge besprochen hat, weshalb viele Schüler bis zum Ende warten mussten. $q_1 \ldots q_n$

Beispiel
Sei und . und . Wir können sehen , dass eine optimale , weil in diesem Fall Blätter nach und Blätter nach $k=3$ $n=2$ $Q_1 = \{q_3\}$ $Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$ $\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$ $s_1$ $t_1 = 1$ $s_2$ , so Summe 4. ist jedochwenn wir die Fragen in der Reihenfolge diskutieren $t_2 = 3$
, dann und beide bis zum Ende warten müssenund , so Summe ist 6. $\langle 1, 2, 3\rangle$ $s_1$ $s_2$ $t_1 = t_2 = 3$

Sie sind freiden allgemeineren Fall zu lösenwo jede Frage nimmt Einheiten zu diskutieren! $^*$ $q_i$ $x_i$

— skankhunt42
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Um ganz klar zu sein: Treten alle Schüler zur gleichen Zeit ein oder treten sie von dem Moment an ein, an dem ihre erste Frage gestellt wird?

— Diskrete Eidechse

@Discretelizard Alle Schüler melden sich zu Beginn zur gleichen Zeit an (bei t = 0).

— Skankhunt42

In der aktuellen Definition sind die Fragensätze eindeutig, dh ein Fragensatz gehört höchstens einem Schüler. Dies könnte eine vernünftige Vereinfachung sein, aber ich bezweifle, dass dies realistisch ist (und ich bezweifle, dass dies viel zur Komplexität des Problems

— beiträgt

Ich nehme an, zwei Schüler könnten genau die gleichen Fragen haben, daher würde sich die Wartezeit mit zwei multiplizieren.

— gnasher729

Ich vermute das Problem NP-schwer ist. Ich werde zeigen, wie man das Problem so transformiert, dass es in engemZusammenhangmit einem NP-harten Problem steht. (Ja, das ist alles ziemlich vage. Ich denke im Grunde, dass mein allgemeiner Ansatz korrekt ist, aber ich bin derzeit nicht in der Lage, fortzufahren.) $\mathsf{TUT}$

Beachten Sie zunächst, dass das Problem wie folgt umformuliert werden kann: $\mathsf{TUT}$

Bei einer Reihe von Fragen der Größe , eine Menge von Teilmengen und eine ganze Zahl , nicht existiert eine Folge derart , daß für alle : $Q$ $k$ $n$ $\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$ $C$ $\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$ $i \in\{1,\ldots,k\}$

und ; und $S_i\subseteq Q$ $|S_i|=i$
für alle $S_i \subset S_j$ $j>i$ ; und
? $\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$

Beachten Sie, dass der Satz stellen die ersten Fragen , die erläutert wird. Die Bedingungen 1 und 2 stellen sicher, dass die Teilmengen gemäß dieser Interpretation gut geformt sind. Bedingung 3 zählt die Anzahl der Schüler, die nicht zu jedem Zeitpunkt abgereist sind, und summiert sich in der Tat zu der gesamten Wartezeit unter allen Schülern. $S_i$ $i$

Jetzt beschränken wir die Größe der Teilmengen in auf , damit wir diese Teilmengen als Kanten in einem Diagramm darstellen können, von denen die Eckpunkte die Elemente sind $\mathcal{F}_Q$ $2$ . (Ein Härteergebnis für diesen Sonderfall ist ausreichend für die Härte des allgemeinen Problems) $Q$

Nun ist das Problem der Minimierung für ein einzelnes (dies ignoriert im wesentlichen Bedingung 2) ist äquivalent zu dem folgenden Problem, das ich als ' $|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i$ $\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$ ' :

Gibt es bei einem ungerichteten Graphen und ganzen Zahlen und eine Menge von Scheitelpunkten einer Größe von höchstens so dass die Menge hat eine Größe von mindestens ? $G=(V,E)$ $k$ $t$ $V'\subseteq V$ $k$ $\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$ $t$

Dieses Problem ist NP-schwer, da clique ein Sonderfall dieses Problems ist, wie diese Antwort zeigt. Dies ist jedoch nicht ausreichend , um zu beweisen , NP-schwer, sein , da wir das Maximum für jeden finden müssen , während 2. respektieren Bedingung Diese Bedingungen sind nicht durch jede Folge erfüllt daß erfüllt nur Bedingung 1 und 3: Betrachten Sie den Graphen auf Eckpunkten mit zwei nicht zusammenhängenden Zyklen, einer der Größe und der anderen der Größe . Für ergibt die Auswahl aller Scheitelpunkte im Zyklus das Maximum, während alle Scheitelpunkte der $k$ $\mathsf{TUT}$ $i$ $\Sigma$ $7$ $4$ $3$ $i=3$ $3$ $4$ $i=4$

$\mathsf{TUT}$

Zusammenfassend habe ich die Frage auf Folgendes reduziert:

$\mathsf{TUT}$

$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i=1\ldots k$ $i-1$ $k$ $i$ would eventually become the 'global' maximum to prevent checking an exponential amount of subsets.

— Discrete lizard
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